Question

(QUESTÃO 1 )

Certa máquina de empacotar determinado produto oferece variações de peso com desvio
padrão de 20 g. Em quanto deve ser regulado o peso médio do pacote para que apenas 10%
tenham menos que 400g?

 

(QUESTÃO 2) Suponha que o diâmetro médio dos parafusos produzidos por uma fábrica é de 0,25
polegadas, e o desvio padrão 0,02 polegadas. Um parafuso é considerado defeituoso se seu
diâmetro é maior que 0,28 polegadas ou menor que 0,2 polegadas.
a) Encontre a porcentagem de parafusos defeituosos.
b) Qual deve ser a medida mínima para que tenhamos no máximo 12% de parafusos
defeituosos.

Answer 1

Olá, Albert.

A probabilidade de uma variável aleatória $X$ com distribuição normal de média  $\mu$ e desvio-padrão $\sigma$ estar entre dois valores $x_1$ e   $x_2$ é calculada da seguinte forma: 

$P(x_1<=X<=x_2)=\int\limits^{x_2}_{x_1}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\,dx$

Como o cálculo desta integral é complexo (obtido apenas através de métodos computacionais numéricos), utiliza-se uma tabela de valores da distribuição normal padrão, onde: 

$\begin{cases}\mu=0\\\sigma=1\end{cases}$

Para que a tabela da normal padrão possa ser utilizada, devemos fazer a seguinte transformação na variável $X:$

 $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$

Esta nova variável $Z$ tem distribuição normal padrão. A tabela de valores P(Z < z) da distribuição normal padrão encontra-se em anexo.

Feitas estas considerações iniciais, vamos às soluções.


QUESTÃO 1
 
$P(X<400)<0,10\Rightarrow\\\\P(Z<\frac{400-\mu}{20})<0,10\Rightarrow\\\\P(Z<20-\frac{\mu}{20})<0,10\Rightarrow$

$20-\frac{\mu}{20} = -1,28$ (valor de P(Z<z) < 0,10 na tabela da normal padrão em anexo)

$\Rightarrow\,-\frac{\mu}{20}=-1,28-20\Rightarrow\mu = 20\cdot21,28\Rightarrow\boxed{\mu = 425,6\,g}$


QUESTÃO 2

$a)\,P(X>0,28)\text{ ou }P(X<0,20)\\\\ 1-P(X<0,28)=1-P(Z<\frac{0,28-0,25}{0,02})=\\\\ =1-P(Z<\frac{0,03}{0,02})=1-P(Z<1,5)\\\\ P(X<0,20)=P(Z<\frac{0,20-0,25}{0,02})=P(Z<\frac{-0,05}{0,02})=P(Z<-2,5)\\\\ 1-P(Z<1,5)+P(Z<-2,5)=\\\\=1-0,9332+0,0062\text{ (ver valores na tabela em anexo)}=\\\\ =\boxed{0,073=7,3\%}$


$b)\,P(X<m)=0,12\Rightarrow$

$P(Z<\frac{m-0,25}{0,02})=0,12\Rightarrow$

$P(Z<\frac{m}{0,02}-12,5)=0,12\Rightarrow$

$\frac{m}{0,02}-12,5=-1,17$ (ver valor na tabela em anexo) $\Rightarrow$

$\frac{m}{0,02}=-1,17+12,5\Rightarrow\\\\m=11,33\cdot0,02\Rightarrow$

$\boxed{m=0,2266\text{ polegadas}}$

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