Question

Determinar o ponto simétrico do ponto P(3,1,-2) em relação ao ponto A(-1,0,-3)?

Answer 1

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$\large\begin{array}{l} \textsf{S\~ao dados os pontos}\\\\ \mathsf{P(3,\,1,\,-2)~~e~~A(-1,\,0,\,-3).} \\\\\\\textsf{De acordo com o enunciado da tarefa, deseja-se encontrar}\\\textsf{as coordenadas do ponto }\mathsf{Q(x_{_Q},\,y_{_Q}),}\textsf{ de modo que} \end{array}$


•   $\large\begin{array}{l} \mathsf{A(-1,\,0,\,3)}\textsf{ \'e o ponto m\'edio do segmento }\overline{\mathsf{PQ}}: \end{array}$

$\large\begin{array}{l} \mathsf{x_{_A}=\dfrac{x_{_P}+x_{_Q}}{2}}\\\\ \mathsf{2x_{_A}=x_{_P}+x_{_Q}}\\\\ \mathsf{x_{_Q}=2x_{_A}-x_{_P}}\\\\ \mathsf{x_{_Q}=2\cdot (-1)-3}\end{array}$

$\large\begin{array}{l} \mathsf{x_{_Q}=-2-3}\\\\ \mathsf{x_{_Q}=-5\qquad\quad\checkmark}\\\\\\ \mathsf{y_{_A}=\dfrac{y_{_P}+y_{_Q}}{2}}\\\\ \mathsf{2y_{_A}=y_{_P}+y_{_Q}} \end{array}$

$\large\begin{array}{l} \mathsf{y_{_Q}=2y_{_A}-y_{_P}}\\\\ \mathsf{y_{_Q}=2\cdot 0-1}\\\\ \mathsf{y_{_Q}=0-1}\\\\ \mathsf{y_{_Q}=-1\qquad\quad\checkmark} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \mathsf{z_{_A}=\dfrac{z_{_P}+z_{_Q}}{2}}\\\\ \mathsf{2z_{_A}=z_{_P}+z_{_Q}}\\\\ \mathsf{z_{_Q}=2z_{_A}-z_{_P}}\\\\ \mathsf{z_{_Q}=2\cdot (-3)-(-2)}\end{array}$

$\large\begin{array}{l} \mathsf{z_{_Q}=-6+2}\\\\ \mathsf{z_{_Q}=-4\qquad\quad\checkmark} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{O ponto procurado \'e o ponto }\mathsf{Q(-5,\,-1,\,-4).}\\\\\\\\ \textsf{Bons estudos! :-)} \end{array}$


Tags:  simétrico ponto médio simetria geometria analítica

Answer 2

O ponto simétrico é Q(- 5, - 1, - 4).

Explicação:

Como o ponto desconhecido e o ponto P são simétricos em relação ao ponto A, significa que A é o ponto médio desses pontos.

No ponto P, temos:

Xp = 3

Yp = 1

Zp = - 2

Chamando o ponto desconhecido de Q, temos:

Q (Xq, Yq, Zq)

A (Xm, Ym, Zm)

Então,

Xm = - 1

Ym = 0

Zm = - 3

Usando a fórmula do ponto médio, temos:

Xm = Xp + Xq

               2

- 1 = 3 + Xq

          2

3 + Xq = - 2

Xq = - 2 - 3

Xq = - 5

Ym = Yp + Yq

              2

0 = 1 + Yq

         2

1 + Yq = 0

Yq = 0 - 1

Yq = - 1

Zm = Zp + Zq

              2

- 3 = - 2 + Zq

             2

- 2 + Zq = - 6

Zq = - 6 + 2

Zq = - 4

Portanto, o ponto simétrico é Q (- 5, - 1, - 4).

Pratique mais em:

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