Question

Na figura, ABCD é um quadrado. A distância do ponto A ao ponto (0,0) é:

Answer 1

Resposta:

A distância é $\sqrt{26}$

Explicação passo-a-passo:

Essa questão pode ser resolvida de duas maneiras:

A primeira seria achar a medida do lado através dos pontos D e C ou B e C, então igualar a distância AB e AD a esse valor e a distância AC a $l\sqrt{2}$, chegando em três equações diferentes em que é necessário isolar "x² + y²" para substituir nas outras, o que leva a um sistema de duas equações, no qual encontramos X do A e Y do A. Esse modo é muito mais trabalhoso então não vou entrar em mais detalhes.

A segunda maneira é fazer uso das 2 diagonais desse quadrado, como elas são iguais, podemos igualar AC à BD, chegando em:

(Lembrando que a distância de dois pontos é   $D = \sqrt{(X1 - X2)^{2}+(Y1 -Y2)^{2} }$)

$(Xa -1)^2 +(Ya+3)^2=(4+4)^2+(2-0)^2$

Aqui o truque é não desenvolver os parênteses. Vamos analisar por um instante a equação, se substituirmos cada um deles por uma incógnita qualquer teríamos:

A²+B² = C²+D²

Umas das resoluções seria assumir que A²=C² e B²=D² ou A²=D² e B²=C²

Já que nossa questão é de geometria, vamos usar isso ao nosso favor e ver se chegamos a algum resultado plausível

$(Xa-1)^2=(4+4)^2\\Xa-1 = 8\\Xa = 9$

Bom parece que esse não é o caminho, porque se o Xa fosse 9 ele ultrapassaria o ponto B no eixo X, não sendo, portanto, um quadrado. Poderíamos também observar que a distância no eixo X entre A e C está muito longe de ser igual a distância no eixo X entre B e D, ela aparenta, no entanto, ser muito mais próxima da distância entre B e D no eixo Y, então vamos à segunda possibilidade:

$(Xa -1)^2 = (2-0)^2\\Xa -1 = 0-2\\Xa = -1\\\\(Ya +3)^2 = (4+4)^2\\Ya+3=8\\Ya= 5$

Prova real, distância CD igual a AD:

$(1+4)^2 + (-3-0)^2= (-1+4)^2 + (5-0)^2\\25 + 9 = 9 + 25 (Verdadeiro)$

Agora com as coordenadas de A fica fácil encontrar a sua distância até a origem:

$D=\sqrt{(-1)^2 + 5^2}=\sqrt{26}$