Question

Resolva essa integral (Bem explicada por favor)

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{I=\dfrac{6\sqrt{3}-2+3\ln\left|\dfrac{2\sqrt{3}+3}{3}\right|}{6}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para resolvermos a seguinte integral, devemos relembrar de algumas técnicas de integração.

Seja a integral $\displaystyle{\int _{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\csc^3x\,dx$ . Façamos $I=\displaystyle{\int \csc^3x\,dx$, logo o resultado da nossa integral será dado pela diferença: $I\left(\dfrac{\pi}{3}\right)-I\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$.

Reescrevemos $\csc^3x$ como o produto $\csc x\cdot \csc^2x$, assim teremos:

$I=\displaystyle{\int\csc x\cdot \csc^2x\,dx$

Então, integramos por partes. Utilizamos a fórmula: $\displaystyle{\int u\,dv=u\cdot v-\int v\,du$, logo devemos escolher quem será o $u$ e $dv$.

O critério de escolha será feito pela propriedade LIATE, na qual damos prioridade na escolha do $u$ para as seguintes funções: Logaritmos, Inversas trigonométricas, Algébricas (potências de $x$), Trigonométricas e Exponenciais.

Logo, visto que ambas as funções são iguais, escolherei da seguinte forma:

$I=\displaystyle{\int \underbrace{\csc x}_{u}\cdot \underbrace{\csc^2x\,dx}_{dv}$.

Então, diferenciamos a expressão em $u$ e integramos a expressão em $dv$, tal que obteremos $du=-\csc x\cdot \cot x\,dx$ e $v=-\cot x$. Assim, teremos:

$I=\displaystyle{\csc x\cdot (-\cot x)-\int-\cot x\cdot(-\csc x\cdot \cot x\,dx)$

Multiplique os valores

$I=\displaystyle{-\csc x\cdot\cot x-\int \csc x \cot ^2x\,dx$

Lembre-se que $\cot^2+1=\csc^2$, logo reescrevemos

$I=\displaystyle{-\csc x\cdot \cot x-\int \csc x\cdot(\csc^2-1)\,dx$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$I=\displaystyle{-\csc x\cdot \cot x-\int \csc^3x-\csc x\,dx$

Lembre-se que a integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções, ou seja: $\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx\pm \int g(x)\,dx}$, logo teremos:

$I=\displaystyle{-\csc x\cdot \cot x-\int \csc^3x\,dx+\int\csc x\,dx$

Então, observe que a integral $\displaystyle{\int \csc^3x\,dx=I}$, assim

$I=\displaystyle{-\csc x\cdot \cot x-I+\int \csc x\,dx}\\\\\\ 2I=\displaystyle{-\csc x\cdot \cot x+\int \csc x\,dx}$

Para resolvermos esta integral, multiplicamos o integrando por $\dfrac{-(\csc x+\cot x)}{-(\csc x+\cot x)}$ e passamos um dos sinais para a frente da integral

$2I=\displaystyle{-\csc x\cdot \cot x-\int \csc x\cdot\dfrac{-(\csc x + \cot x)}{\csc x + \cot x}\,dx$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$2I=\displaystyle{-\csc x\cdot \cot x-\int \dfrac{-\csc^2x -\csc x\cdot \cot x}{\csc x + \cot x}\,dx$

Então, fazemos uma substituição $t=\csc x+\cot x$. Diferenciando ambos os lados da expressão, teremos:

$dt=-\csc x\cdot \cot x-\csc^2x\,dx$

Veja que este valor já está presente na integral. Substituindo, teremos:

$2I=\displaystyle{-\csc x\cdot \cot x-\int \dfrac{dt}{t}$

Sabendo que $\displaystyle{\int \dfrac{dx}{x}=\ln|x|$, teremos

$2I=\displaystyle{-\csc x\cdot \cot x-\ln|t|$

Desfaça a substituição $t=\csc x+\cot x$

$2I=\displaystyle{-\csc x\cdot \cot x-\ln|\csc x+\cot x|$

Divida ambos os lados da equação por $2$

$I=\dfrac{-\csc x\cdot \cot x-\ln|\csc x+\cot x|}{2}$

Então, substitua os limites de integração, visto que buscamos o valor de $I\left(\dfrac{\pi}{3}\right)-I\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$. Assim, teremos

$I=\dfrac{-\csc\dfrac{\pi}{3}\cdot \cot\dfrac{\pi}{3}-\ln\left|\csc \dfrac{\pi}{3}+\cot\dfrac{\pi}{3}\right|}{2}-\dfrac{-\csc\dfrac{\pi}{6}\cdot \cot\dfrac{\pi}{6}-\ln\left|\csc \dfrac{\pi}{6}+\cot\dfrac{\pi}{6}\right|}{2}$

Sabendo que $\csc\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2}{\sqrt{3}},~\cot\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{\sqrt{3}},~\csc\dfrac{\pi}{6}=2,~\cot\dfrac{\pi}{6}=\sqrt{3}$, teremos

$I=\dfrac{-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}}-\ln\left|\dfrac{2}{\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right|+2\cdot\sqrt{3}+\ln\left|2+\sqrt{3}|}{2}$

Multiplique e some os valores

$I=\dfrac{-\dfrac{2}{3}-\ln|\sqrt{3}|+2\sqrt{3}+\ln\left|2+\sqrt{3}|}{2}$

Aplique a propriedade de logaritmos

$I=\dfrac{-\dfrac{2}{3}+\ln\left|\dfrac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right|+2\sqrt{3}}{2}$

Racionalize o denominador e simplifique a fração

$I=\dfrac{6\sqrt{3}-2+3\ln\left|\dfrac{2\sqrt{3}+3}{3}\right|}{6}$

Este é o valor desta integral.