Question

1 — Em cada item, verifique quais triplas ordenadas são soluções do sistema. a)5x + y + z = 0 x — 4y + 3z = 0 2x — 2y + 2z = 0 I) (–1, 5, 0) II) (0, 0, 0) III) (1, –2, –3) b)x + y + 6z = 0 x — y — z = 5 2x — 6y — z = 5 I) (0, 0, 0) II) (5, 1, –1) III) (2, 2, –1)

Answer 1

Resposta:

Olá, As ternas II) (0,0,0) e III) (1,-2,-3) são soluções do sistema homogêneo. A terna II) (5,1,-1) é solução do sistema não homogêneo.

a) Da segunda equação, podemos dizer que x = 4y - 3z.

Dividindo a terceira equação por 2, obtemos x - y + z = 0.

Substituindo o valor de x nessa equação:

4y - 3z - y + z = 0

3y - 2z = 0

3y = 2z

y = 2z/3.

Logo,

x = 4.(2z/3) - 3z

x = 8z/3 - 3z

x = -z/3.

Substituindo os valores de x e y na primeira equação do sistema:

5(-z/3) + 2z/3 + z = 0

-5z/3 + 2z/3 + z = 0

-5z + 2z + 3z = 0

0 = 0.

O sistema possui infinitas soluções da forma (-z/3,2z/3,z).

Se z = 0, obtemos a solução II) (0,0,0).

Se z = -3, obtemos a solução III) (1,-2,-3).

Observe que todos os termos independentes são iguais a 0. Logo, o sistema é homogêneo.

b) Da primeira equação, podemos dizer que x = -y - 6z.

Substituindo o valor de x na segunda equação:

-y - 6z - y - z = 5

-2y - 7z = 5

2y = -7z - 5

y = (-7z - 5)/2.

Logo,

x = -(-7z - 5)/2 - 6z

x = (7z + 5)/2 - 6z

x = (-5z + 5)/2.

Substituindo os valores de x e y na terceira equação:

2(-5z + 5)/2 - 6(-7z - 5)/2 - z = 5

-5z + 5 - 3(-7z - 5) - z = 5

-5z + 21z + 15 - z = 0

15z = -15

z = -1.

Portanto, x = 5 e y = 1.

A solução do sistema é II) (5,1,-1).

O sistema é não homogêneo porque alguns termos independentes são diferentes de zero

Explicação passo-a-passo:

Espero Ter Ajudado, Abraços

Answer 2

Resposta:

a) II e III

b) II

Substituindo os valores das triplas nas equações, chegamos à conclusão que II e III são soluções do sistema da letra a e apenas II solução da letra b.

Espero ter ajudado. Abs