Question

lim x^3/2X^2-x para x tendendo a 0​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{x^3}{2x^2-x}=0}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos o limite $\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{x^3}{2x^2-x}$, utilizaremos a Regra de l'Hôpital.

Seja o limite da função racional $\underset{x\rightarrow c}{\lim}~\dfrac{f(x)}{g(x)}=L$, tal que $f(x)$ e $g(x)$ são diferenciáveis e logo, contínuas em $c$ e $g'(x)\neq0$. Podemos demonstrar:

Pela definição de continuidade, podemos reescrever o limite como $\dfrac{\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)}{\underset{x\rightarrow c}{\lim}~g(x)}=L$

Utilizamos esta regra quando nos deparamos com as indeterminações $\dfrac{0}{0}$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$. Assim, ainda pela definição de continuidade, sabemos que $\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)=f(c)$, logo reescrevemos a indeterminação como:

$\dfrac{\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)-f(c)}{\underset{x\rightarrow c}{\lim}~g(x)-g(c)}=L$

Divida o numerador e o denominador por $x-c$

$\dfrac{\underset{x\rightarrow c}{\lim}~\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}}{\underset{x\rightarrow c}{\lim}~\dfrac{g(x)-g(c)}{x-c}}=L$

Então, pela definição de derivada, teremos:

$\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=L$

Voltemos para o nosso limite:

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{x^3}{2x^2-x}$

Aplique a regra de l'Hôpital

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{(x^3)'}{(2x^2-x)'}$

Lembre-se que:

• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma soma de funções é dada pela soma das derivadas das funções: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.
• A derivada do produto entre uma constante e uma função é calculada pela regra do produto e da constante, dada por: $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$.

Aplique a regra da soma

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{(x^3)'}{(2x^2)'-(x)'}$

Aplique a regra da potência e da constante

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{3\cdot x^2}{2\cdot 2\cdot x-1}$

Multiplique os valores

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{3x^2}{4x-1}$

Visto que as funções são contínuas em $x=0$, teremos

$\dfrac{3\cdot 0^2}{4\cdot 0 -1}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$\dfrac{0}{-1}$

Calcule a divisão

$0$

Este é o valor deste limite.