Question

Considere ∈ ℝ e as funções e definidas por suas expressões:

f(x) = 1 − √2 − x² e g(x) =f (|x|)

O gráfico da função é parte de uma circunferência.

a) Complete o quadrado no radicando de y = 1 − √2 −x ², obtenha a equação da circunferência que contém o gráfico da função e identifique o raio e o centro da circunferência.

b) Determine o domínio da função f e esboce o gráfico da função f e da função g .
Observando o gráfico, dê o domínio da função g e dê a imagem de cada função.

Answer 1

A equação da circunferência que contém o gráfico da função é x² + (y - 1)² = 2 e possui raio √2 e centro (0,1). O domínio da função f é [-√2,√2] e da função g também. A imagem das funções f e g é o intervalo [1 - √2,1].

a) Vale lembrar que a equação reduzida da circunferência é da forma (x - x₀)² + (y - y₀)² = r², sendo C = (x₀,y₀) o centro e r o raio.

Da função $y=1-\sqrt{2 - x^2}$ temos que $\sqrt{2 - x^2} = 1 - y$. Elevando ambos os lados ao quadrado, encontramos:

2 - x² = (1 - y)²

2 - x² = 1 - 2y + y²

x² + y² - 2y - 1 = 0.

Agora, vamos completar o quadrado. Então:

x² + y² - 2y = 1

x² + y² - 2y + 1 = 1 + 1

x² + (y - 1)² = 2.

Portanto, a circunferência possui centro no ponto C = (0,1) e raio igual a r = √2.

b) O domínio da função f é dado pelo intervalo [-√2,√2] e o seu gráfico está anexado abaixo.

Como g(x) = f(|x|), então $g(x) = 1 - \sqrt{2 - |x^2|}$. Note que o gráfico da função g é igual ao gráfico da função f. Logo, também possui o domínio igual a [-√2,√2].

Além disso, temos que a imagem da função f é igual à imagem da função g, ou seja, é o intervalo [1 - √2,1].