Question

(C. Militar) Simplificando a fração algébrica 2x^3 -3x^2 -27/ 2x^4 +3x^3 -9x^2 - 27x - 81 encontramos:

(A) x + 3

(B) 1/x+3

(C) x-3

(D) 1/x-3

(E) x+3/x-3

Answer 1

    $\dfrac{2x^3-3x^2-27}{2x^4+3x^3-9x^2-27x-81}=$

$=\dfrac{(x-3)(2x^2+3x+9)}{(x+3)(x-3)(2x^2+3x+9)}=$

$=\dfrac{(2x^2+3x+9)}{(x+3)(2x^2+3x+9)}=$

$=\dfrac{1}{x+3}$

Resposta: (B)

    Cálculos Auxiliares    

Os divisores de um polinómio são os divisores do termo independente do mesmo, e seus simétricos, que, quando substituem a incógnita, originam 0.

Determinamos os divisores para usar a Regra de Ruffini, simplificando os polinómios até ao 2º grau.

• Determinação dos divisores do numerador:

27 | 3

 9 | 3

 3 | 3

 1

Divisores de 27 = { -1 ; 1 ; -3 ; 3 ; -9 ; 9 ; -27 ; 27 }

Para $x=-1$ :

   $2\times(-1)^3-3\times(-1)^2-27=$

$=2\times(-1)-3\times1-27=$

$=-2-3-27=$

$=-32\not=0$

Para $x=1$ :

   $2\times1^3-3\times1^2-27=$

$=2\times1-3\times1-27=$

$=2-3-27=$

$=-28\not=0$

Para $x=-3$ :

   $2\times(-3)^3-3\times(-3)^2-27=$

$=2\times(-27)-3\times9-27=$

$=-54-27-27=$

$=-108\not=0$

Para $x=3$ :

   $2\times3^3-3\times3^2-27=$

$=2\times27-3\times9-27=$

$=54-27-27=$

$=0$

Pela Tegra de Ruffini:

  |     2     -3     0     -27

  |

3 |             6      9     27          

  |     2      3      9       0

Logo o numerador pode ser escrito como  $(x-3)(2x^2+3x+9)$

• Determinação dos divisores do numerador:

81  | 3

27 | 3

 9 | 3

 3 | 3

 1

Divisores de 27 = { -1 ; 1 ; -3 ; 3 ; -9 ; 9 ; -27 ; 27 ; -81 ; 81 }

Para $x=-1$ :

   $2\times(-1)^4+3\times(-1)^3-9\times(-1)^2-27\times(-1)-81=$

$=2\times1+3\times(-1)-9\times1+27-81=$

$=2-3-9+27-81=$

$=-64\not=0$

Para $x=1$ :

   $2\times1^4+3\times1^3-9\times1^2-27\times1-81=$

$=2\times1+3\times1-9\times1-27-81=$

$=2+3-9-27-81=$

$=-112\not=0$

Para $x=-3$ :

   $2\times(-3)^4+3\times(-3)^3-9\times(-3)^2-27\times(-3)-81=$

$=2\times81+3\times(-27)-9\times9+81-81=$

$=162-81-81=$

$=0$

Para $x=3$ :

   $2\times3^4+3\times3^3-9\times3^2-27\times3-81=$

$=2\times81+3\times27-9\times9-81-81=$

$=162+81-81-81-81=$

$=0$

Pela Tegra de Ruffini:

   |     2      3     -9     -27     -81

   |

-3 |            -6      9       0       81  

   |     2     -3      0     -27       0

   |

3 |             6      9      27  

   |     2      3      9       0

Logo o numerador pode ser escrito como  $(x+3)(x-3)(2x^2+3x+9)$

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