Question

Calcule a distância do ponto P(1,-5) e 3x - 4y - 2 = 0. (apresente os cálculos)

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{d=\dfrac{21}{5}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar de algumas propriedades estudadas em geometria analítica.

Seja a equação geral da reta $ax+by+c=0$ e o ponto $(x_0,~y_0)$. A distância $d$ entre o ponto e sua projeção ortogonal na reta, ou seja, sua distância até ela é dada pela fórmula:

$d=\dfrac{|a\cdot x_0+b\cdot y_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Temos a reta $3x-4y-2=0$ e o ponto $P~(1,~-5)$. Como podemos ver, $a=3,~b=-4,~c=-2$. Substituindo estes dados na fórmula, teremos:

$d=\dfrac{|3\cdot 1-4\cdot (-5)-2|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}$

Calcule as potências e multiplique os valores

$d=\dfrac{|3+20-2|}{\sqrt{9+16}}$

Some os valores

$d=\dfrac{|21|}{\sqrt{25}}$

Decompondo o radicando em fatores primos, obtemos $25=5^2$, logo

$d=\dfrac{|21|}{\sqrt{5^2}}$

Calcule a raiz

$d=\dfrac{|21|}{5}$

Sabendo que $|x|=\begin{cases}x,~se~x>0\\ -x,~se~x<0\\\end{cases}$, teremos

$d=\dfrac{21}{5}$

Esta é a distância do ponto à reta.