Question

derivada de 7 elevado a ln.x ao quadrado​

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\sf y = \sf 7 {}^{ ln(x {}^{2} ) }$

A questão nos pede para derivarmos essa função. Para isso devemos lembrar da derivada de uma função exponencial, dada por:

$\sf \frac{dy}{dx} = a {}^{x} . ln(a)$

Aplicando essa derivação em nossa expressão:

$\sf \frac{dy}{dx} = 7 {}^{ ln(x {}^{2} ) } . ln(7)$

Para completar essa derivação, devemos multiplicar essa expressão pela derivada da função que está no expoente, já que se trata de uma função composta.

$\sf \frac{dy}{dx} = 7 {}^{ ln(x {}^{2} ) } . ln(7) . \frac{d}{dx} . [ ln( x) {}^{2} ]$

A derivada de uma função de logaritmo natural composta é dada pela seguinte expressão:

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{1}{ x} . \frac{d}{dx} u$

Então:

$\sf \frac{dy}{dx} = 7 {}^{ ln(x {}^{2} ) } . ln(7) . \frac{1}{x {}^{2} }. \frac{d}{dx} (x {}^{2} ) \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = 7 {}^{ ln(x {}^{2} ) } . ln(7) . \frac{2x}{x {}^{2} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = 7 {}^{ ln(x {}^{2} ) } . ln(7) . \frac{2}{x} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{2.7 {}^{ ln(x {}^{2} ) }. ln(7) }{x} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Aquele número 2 pode ser visto como um expoente transferido para frente do logaritmo, basta você lembrar dessa propriedade:

$\boxed{\sf ln(a {}^{p} ) = p. ln(a)}$

Aplicando:

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{7^{ { ln(x{}^{2}) }} . ln(7 ) }{x} \: \: \: \\ \\ \boxed{\sf \frac{dy}{dx} = \frac{7 { ^{ln(x {}^{2} ) }}. ln(49) }{x} }$

Espero ter ajudado