Question

A alternativa que corresponde à solução de integral 5 x e à potência de 3 x fim do exponencial d x espaço é: numerador 5 e à potência de 3 x fim do exponencial sobre denominador 3 fim da fração abre parênteses x menos 1 terço fecha parênteses mais c numerador 5 e à potência de 3 x fim do exponencial sobre denominador 9 fim da fração abre parênteses x menos 1 terço fecha parênteses mais c e à potência de 3 x fim do exponencial sobre 3 abre parênteses x mais 1 terço fecha parênteses mais c e à potência de 3 x fim do exponencial sobre 3 abre parênteses x menos 1 terço fecha parênteses mais c numerador 5 e à potência de 3 x fim do exponencial sobre denominador 3 fim da fração abre parênteses x mais 1 terço fecha parênteses mais c

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Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos cada uma das integrais, devemos nos relembrar de algumas técnicas de integração.

a) $\displaystyle{\int (3x-1)^3\,dx$

Nesta integral, faremos uma substituição $u=3x-1$. Devemos diferenciar ambos os lados a fim de encontrarmos o diferencial $du$:

$u'=(3x-1)'$

Lembrando das propriedades de derivada, temos

$du=3\,dx$

Isolando $dx$, temos

$\dfrac{du}{3}=dx$

Substituindo estes valores na integral, teremos

$\displaystyle{\int u^3\cdot \dfrac{du}{3}$

Lembre-se que $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot \int f(x)\,dx$, logo

$\displaystyle{\dfrac{1}{3}\cdot\int u^3\,du$

Sabendo que $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$, temos

$\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{u^4}{4}$

Multiplique os valores

$\dfrac{u^4}{12}$

Desfaça a substituição e adicione a constante de integração

$\dfrac{(3x-1)^4}{12}+C,~C\in\mathbb{R}$

b)  $\displaystyle{\int \dfrac{x^3}{1+2x^4}\,dx$

Novamente, fazemos uma substituição $u=1+2x^4$. Diferenciamos ambos os lados:

$u'=(1+2x^4)'$

Calcule a derivada

$du=8x^3\,dx$

Divida ambos os lados por $8$

$\dfrac{du}{8}=x^3\,dx$

Veja que esta expressão já está contida no integrando, logo

$\displaystyle{\int\dfrac{du}{8u}$

Aplique a propriedade da constante

$\displaystyle{\dfrac{1}{8}\cdot\int\dfrac{du}{u}$

Lembre-se que $\displaystyle{\int \dfrac{dx}{x}=\ln|x|$, logo

$\dfrac{1}{8}\cdot\ln|u|$

Desfaça a substituição e adicione a constante de integração

$\dfrac{\ln(1+2x^4)}{8}+C,~C\in\mathbb{R}$

c)  $\displaystyle{\int x\cdot\sqrt{3+2x^2}\,dx$

Novamente, faremos uma substituição $u=3+2x^2$. Diferenciamos ambos os lados:

$u'=(3+2x^2)'$

Calcule a derivada

$du=4x\,dx$

Divida ambos os lados por $4$

$\dfrac{du}{4}=x\,dx$

Substituindo estes termos na integral, temos

$\displaystyle{\int \sqrt{u}\cdot\dfrac{du}{4}$

Aplique a regra da constante

$\displaystyle{\dfrac{1}{4}\cdot\int \sqrt{u}\,du$

Lembre-se que $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ e aplique a regra da potência

$\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\dfrac{1}{2}+1}$

Some os valores

$\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{u^{\frac{3}{2}}}{\dfrac{3}{2}}$

Calcule a fração de frações e multiplique os valores

$\dfrac{u^{\frac{3}{2}}}{6}$

Desfaça a substituição e adicione a constante de integração

$\dfrac{(3+2x^2)^{\frac{3}{2}}}{6}+C,~C\in\mathbb{R}$

d) $\displaystyle{\int2x\sin x\,dx$

Para esta integral, utilizamos a técnica de integração por partes, dada por $\displaystyle{\int u\,dv=uv-\int v\,du}$.

Então, como critério de escolha para $u$, utilizamos LIATE, que consiste em priorizarmos as funções Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algébricas (potências de $x$), Trigonométricas e Exponenciais.

Assim, teremos $u=2x$ e $dv=\sin x\,dx$. Diferenciamos a expressão em $u$ e integramos o diferencial $dv$:

$u'=(2x)'\\\\\\ du=2\,dx\\\\\\ \displaystyle{\int dv=\int \sin x\,dx}\\\\\\ v= -\cos x$

Substituindo estes termos na fórmula, teremos

$\displaystyle{2x\cdot(-\cos x)-\int (-\cos x)\cdot 2\,dx$

Multiplique os valores

$\displaystyle{-2x\cos x+2\cdot\int \cos x\,dx$

Sabendo que $\displaystyle{\int \cos x\,dx=\sin x$, temos

$-2x\cos x+2\sin x$

Adicione a constante de integração

$-2x\cos x+2\sin x+C, ~C\in\mathbb{R}$

e)  $\displaystyle{\int5xe^{3x}\,dx}$

Da mesma forma, integramos por partes. Pelo critério de escolha, teremos $u=5x$ e $dv=e^{3x}\,dx$. Diferenciando a expressão em $u$ e integrando $dv$, temos

$u'=(5x)'\\\\\\ du=5\,dx\\\\\\ \displaystyle{\int dv=\int e^{3x}\,dx}\\\\\\ v=\dfrac{e^{3x}}{3}$

Substituindo estes dados, teremos

$5x\cdot \dfrac{e^{3x}}{3}-\displaystyle{\int \dfrac{e^{3x}}{3}\cdot 5\,dx$

Aplique a propriedade da constante

$5x\cdot \dfrac{e^{3x}}{3}-\displaystyle{\dfrac{5}{3}\cdot\int e^{3x}\,dx$

Calcule a integral

$5x\cdot \dfrac{e^{3x}}{3}-\displaystyle{\dfrac{5}{3}\cdot\dfrac{e^{3x}}{3}$

Multiplique os valores e adicione a constante de integração

$\dfrac{5xe^{3x}}{3}-\dfrac{5e^{3x}}{9}\right)+C,~C\in\mathbb{R}$