Question

calcula a seguinte integral

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Cálculo da integral Indefinida

Dada a integral :

$\displaystyle\int \sf{ \dfrac{ \sqrt[3]{ 1 + \sqrt[4]{x} } }{ \sqrt{x} } dx~=~ I}$

Vamos fazer uma substituição simples de variável :

Supondo que: $\sf{ x~=~ t^4 }$

$\Longrightarrow \sf{ dx ~=~ 4t^3dt }$

Então Reescrevendo a integral :

$\sf{ I~=~ } \displaystyle\int \sf{ \dfrac{ \sqrt[3]{ 1 + t }}{\cancel{ t^2 }} 4t^{\cancel{3}} dt }$

$\Longrightarrow\sf{ I~=~4 } \displaystyle\int \sf{ t*\sqrt[3]{1 + t} dt }$

Pelo método da integração por partes têm -se :

$\iff \displaystyle\int \sf{ u dv }~=~ uv - \displaystyle\int \sf{ v du }$

Então seja :

$\Longrightarrow \sf{ u ~=~ t ~;~du~=~ dt }$

$\Longrightarrow \sf{ dv~=~ \sqrt[3]{1 + t}dt~;~ v~=~} \displaystyle\int \sf{ \sqrt[3]{1 + t}dt }$

$\Longrightarrow \sf{ v ~=~ } \displaystyle\int \sf{ (1 + t)^{\frac{1}{3}} dt }$

$\Longrightarrow \sf{ v~=~ \dfrac{(1 + t)^{\frac{1}{3}+1} }{ \frac{1}{3}+1}~=~\dfrac{(1 + t)^{\frac{4}{3}} }{ \frac{4}{3} } }$

$\Longrightarrow \sf{ v~=~ \sqrt[3]{ (1 + t)^4 } * \dfrac{3}{4} }$

$\boxed{ \sf{ \purple{ v~=~ \dfrac{3}{4}\sqrt[3]{ (1 + t)^4 } } } }$

Então a integral fica :

$\Longrightarrow \sf{ I~=~ 4*t*\dfrac{3}{4}\sqrt[3]{(1 + t)^4} - 4*\dfrac{3}{4}}\displaystyle\int \sf{\sqrt[3]{(1 + t)^4} dt }$

$\Longrightarrow \sf{ I~=~ 3t\sqrt[3]{(1 + t)^4} - 3}\underbrace{\displaystyle\int \sf{ \sqrt[3]{(1 + t)^4} dt }}_{I_{0}}$

Vamos achar o $\sf{ I_{0} }$

$\Longrightarrow \sf{ I_{0}~=~ } \displaystyle\int \sf{ \sqrt[3]{ (1 + t)^4 } dt }$

$\Longrightarrow \sf{ I_{0}~=~ } \displaystyle\int \sf{ (1 + t)^{\frac{4}{3}} dt }$

$\Longrightarrow \sf{ I_{0}~=~ \dfrac{(1 + t)^{\frac{4}{3} + 1} }{ \frac{4}{3} + 1} }$

$\Longrightarrow \sf{ I_{0}~=~ (1 + t)^{\frac{7}{3}} * \frac{3}{7} }$

$\Longrightarrow \boxed{\sf{ \pink{ I_{0}~=~ \dfrac{7}{3}\sqrt[3]{(1 + t)^7} } } }$

Então :

$\Longrightarrow \sf{ I~=~ 3t\sqrt[3]{(1 + t)^4} - 3*I_{0} }$

$\Longrightarrow \sf{ I~=~ 3t\sqrt[3]{(1 + t)^4} - 3*\dfrac{3}{7}\sqrt[3]{(1 + t)^7} }$

$\Longrightarrow \sf{ I~=~ 3t\sqrt[3]{(1 + t)^4} - \dfrac{9}{7}\sqrt[3]{(1 + t)^7} }$

Voltemos a nossa variável x, lembremos que :

$\iff \sf{ x~=~t^4 \Longrightarrow t~=~\sqrt[4]{x} }$

$\Longrightarrow \sf{ I~=~ 3t\sqrt[3]{(1 + \sqrt[4]{x})^3} - \dfrac{9}{7}\sqrt[3]{(1 + \sqrt[4]{x})^7} }$

$\green{ \boxed{ \pink{ \boxed{ \purple{\sf{ I~=~ I~=~ 3t\sqrt[3]{(1 + \sqrt[4]{x})^3} - \dfrac{9}{7}\sqrt[3]{(1 + \sqrt[4]{x})^7} + k~,com~k\in \mathbb{R} } } } } } } \green{\checkmark}\pink{\checkmark}\purple{\checkmark} \sf{ \longleftarrow Resposta }$

Espero ter ajudado bastante!)