Question

) 2) Encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=x^{3} -4x+2 2 no ponto ( -1, 5).

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\sf f(x) = x {}^{3} - 4x + 2$

A questão nos pede parar encontrar a reta tangente à curva citada acima, o ponto de tangência da reta com a curva, a questão nos diz que é $\sf P(-1,5)$.

Já sabemos a coordenada, então nos falta encontrar o coeficiente angular dessa função, para isso basta derivarmos essa função.

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x {}^{3} -4x + 2)$

Lembre-se a derivada da soma de funções, é igual a derivada de cada uma dela.

$\sf \boxed{ \sf \frac{d}{dx} [f(x) + g(x)] = \frac{d}{dx} [f(x)] + \frac{d}{dx} [g(x)]}$

Aplicando essa relação:

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} x {}^{3} + \frac{d}{dx} ( - 4x) + \frac{d}{dx} 2$

Agora lembre-se que a derivada de uma potência de "x" é por: $\sf x^{n} = n.x^{n-1}$, devemos lembrar também que a derivada de uma constante é igual a "0". Aplicando:

$\sf \frac{dy}{dx} = 3x {}^{3 - 1} - 1.4 x{}^{1 - 1} + 0 \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = 3x {}^{2} - 4x {}^{0} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = 3x {}^{2} - 4 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Esse é o coeficiente angular, ou seja, representa o "m" de uma reta. Agora devemos substituir o valor da abscissa, que é -1:

$\sf m= 3x {}^{2} - 4 \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf m = 3.( - 1) {}^{2} - 4 \\ \sf m = 3 - 4 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf m = - 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora vamos montar a equação da reta através da substituição dos dados na equação fundamental da reta $\sf y-y_0=m(x-x_0)$, aplicando os dados:

$\sf y - y _0 = m.(x - x_0) \: \: \: \: \: \: P(-1,5) \: e \: m = - 1 \\ \sf y - 5 = - 1.(x -( - 1)) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf y - 5 = - x - 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf y = - x - 1 + 5 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \boxed{ \sf y = 4 - x} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado