Question

Sabendo que 1 é a raiz tripla da equação x^5 - 3x^4 + 4x^3 - 4x2^ + 3x - 1 = 0, resolva-a

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{S=\{x\in\mathbb{C}~|~x=(-i,~i,~1~(tripla))\}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, utilizaremos o dispositivo prático de Briot-Ruffini.

O dispositivo serve para encontrarmos os coeficientes do quociente da divisão entre dois polinômios e, por conseguinte, servem para encontrar raízes de equações de grau maior que $2$.

Seja a equação de grau 5: $x^5-3x^4+4x^3-4x^2+3x-1=0$. Sabemos que $1$ é raiz tripla deste polinômio, o que significa que este número pode ser utilizado três vezes para abaixarmos o grau da equação polinomial, o que nos levará para uma equação de grau $2$.

Para isso, considere que estamos dividindo o polinômio $P(x)=x^4-3x^4+4x^3-4x^2+3x-1$ pelo polinômio $x-1$.

Dispomos os coeficientes em Briot-Ruffini:

$\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~|~~~~1~~~~-3~~~~4~~~~-4~~~~3~~~~-1}}\\~~~~1~\,|~~~~1$

Repetimos o primeiro coeficiente em sua coluna, multiplicamos pelos número que está na coluna do $x$ e somamos ao próximo coeficiente, pondo o resultado em sua coluna, até chegarmos ao último.

Assim, teremos:

$\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~|~~~~1~~~~-3~~~~4~~~~-4~~~~3~~~~-1}}\\~~~~1~\,|~~~\boxed{1~~~~-2~~~~2~~~~-2~~~~1}~~~~~0$

Os números em destaque serão coeficientes do polinômio de grau menor, quociente da primeira divisão. Visto que $1$ é uma raiz tripla, utilizamos estes coeficientes novamente em Briot-Ruffini:

$\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~|~~~~1~~~~-2~~~~2~~~~-2~~~~1}\\~~~~1~\,|~~~~1$

Repita o processo

$\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~|~~~~1~~~~-2~~~~2~~~~-2~~~~1}\\~~~~1~\,|~~~\boxed{1~~~~-1~~~~1~~~~-1}~~~0$

Utilizamos pela última vez estes coeficientes no dispositivo:

$\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~|~~~~1~~~~-1~~~~1~~~~-1}\\~~~~1~\,|~~~~1$

Repita o processo

$\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~|~~~~1~~~~-1~~~~1~~~~-1}\\~~~~1~\,|~~~\boxed{1~~~~~~~0~~~~~1}~~~~~~0$

Por fim, estes serão os coeficientes do polinômio de grau 2 da forma: $ax^2+bx+c$, tal que sua soluções quando $ax^2+bx+c=0$ são o restante das raízes da equação de grau 5 que começamos.

A equação será: $x^2+1=0$

Subtraia $1$ em ambos os lados

$x^2=-1$

Retire a raiz quadrada em ambos os lados

$x=\pm\sqrt{-1}$

Lembre-se que $i=\sqrt{-1}$, logo

$x=\pm~i$

Estas são as outras duas raízes desta equação.