Question

Calcule o determinante pelo método de laplace

Answer 1

Resposta:

2     5    -1

4    10    -2

0    3     6

***por observação é fácil ver que o determinante é igual a zero, a linha 1 é múltiplo da linha 2

L2=L2-2L1

2      5      -1

0      0      0

0      3      6

det B= (-1)¹⁺¹ * 2 * det(C)

C=

0     0

3     6      ==>det C =0*6-3*0 = 0

det B= (-1)¹⁺¹ * 2*0= 0

Answer 2

Temos a seguinte matriz:

$B = \begin{bmatrix}2&5& - 1 \\ 4&10 & - 2 \\ 0&3 &6\end{bmatrix}$

A questão nos pede para encontrarmos o determinante dessa matriz através do Teorema de Laplace. O teorema de Laplace nos diz que devemos escolher uma fila qualquer, ou seja, uma linha ou coluna, escolherei a coluna que contém o número "0":

$B = \begin{bmatrix} \red2&5& - 1 \\ \red 4&10 & - 2 \\ \red 0&3 &6\end{bmatrix}$

Tendo feito essa escolha, você deve pegar cada um desses números e multiplicar pelo Cofator correspondente a posição dele:

$\sf 2.C_{11} + 4C_{21} + 0.C_{31 } \longleftrightarrow 2.C_{11} + 4C_{21}$

O Cofator é uma coisa específica, ele possui uma expressão, que é dada por $\sf C_{ij} = (-1)^{i+j}.D_{ij}$. Se você observar, dentro do Cofator tem uma letra "D", ele é chamado de menor complementar, o cálculo dele é dado através da eliminação da linha e coluna de onde ele se encontra. Vamos expandir os cofatores:

$\sf2. (-1)^{1+1}.D_{11} + 4 (-1)^{2 + 1}.D_{21}$

Vamos calcular os dois menores completar. Primeiro o D11, ou seja, devemos eliminar a linha 1 e a coluna 1:

$B = \begin{bmatrix} \red2& \red5& \red {- 1 }\\ \red 4&10 & - 2 \\ \red 0&3 &6\end{bmatrix}$

Note que surgiu um determinante (2x2), teremos que resolvê-lo:

$\begin{bmatrix} 10& - 2\\ 3&6 \\ \end{bmatrix} = 10.6 - 3.( - 2) = 60 + 6 = 66$

Agora vamos calcular o D21, logo devemos eliminar a linha 2 e coluna 1:

$\begin{bmatrix} \red 2& 5& {- 1} \\ \red4& \red{10 }& \red{ - 2 }\\ \red0& 3 &6\end{bmatrix}$

Resolvendo o determinante (2x2):

$\begin{bmatrix} 5& - 1\\ 3&6 \\ \end{bmatrix} =5.6 - 3.( - 1) = 30 + 3 = 33$

Substituindo os valores dos menores completar:

$\sf2. (-1)^{1+1}.66+ 4 (-1)^{2 + 1}.33 \\ \sf 2.(1).66 - 4.33 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf 132 - 132 = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Por fim, podemos concluir que:

$B = \begin{bmatrix}2&5& - 1 \\ 4&10 & - 2 \\ 0&3 &6\end{bmatrix} = 0$

Espero ter ajudado