Question

A área de um triângulo é de 4 unidades de superfície, sendo dois de seus vértices os pontos A ( 2, 1 ) e B ( 3 , - 2 ). Sabendo que o terceiro vértice encontra-se sobre o eixo das abscissas, pode-se afirmar que suas coordenadas são:

Answer 1

Resposta:

 $\boxed{\bold{\displaystyle{(5,~0)~ou~\left(-\dfrac{1}{3},~0\right)}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, utilizaremos matrizes.

Dado um triângulo de vértices $(x_1,~y_1),~(x_2,~y_2)$ e $(x_3,~y_3)$ , sua área $A$ é dada ao calcularmos o seguinte determinante:

$A=\dfrac{1}{2}\cdot\begin{Vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\\\end{Vmatrix}$

Então, nos foram dados os pontos dos vértices $A~(2,~1)$ ,  $B~(3,~-2)$ e nos foi dito que sua área é igual a $4$ . A coordenada do outro vértice ainda é desconhecida, porém sabemos que ele encontra-se sobre o eixo das abscissas.

Isto significa que ele está nas coordenadas $(x,~0)$ . Substituindo estas informações na fórmula, teremos:

$4=\dfrac{1}{2}\cdot\begin{Vmatrix}2&1&1\\3&-2&1\\x&0&1\\\end{Vmatrix}$

Para resolvermos o determinante, utilizamos a Regra de Sarrus. Consiste em replicarmos as duas primeiras colunas à direita do determinante e calcularmos a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

Replicando as colunas, teremos:

$4=\dfrac{1}{2}\cdot\left|\begin{vmatrix}2 & 1 &1 \\ 3&-2 &1 \\ x& 0 & 1\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}2 &1 \\ 3& -2\\ x &0\end{vmatrix}\right.$

Aplique a regra de Sarrus:

$4=\dfrac{1}{2}\cdot|2\cdot(-2)\cdot1+1\cdot1\cdot x+1\cdot3\cdot0-(1\cdot3\cdot1+2\cdot1\cdot0+1\cdot(-2)\cdot x)|$

Multiplique os valores

$4=\dfrac{1}{2}\cdot|-4+x-(3-2x)|$

Efetue a propriedade distributiva

$4=\dfrac{1}{2}\cdot|-4+x-3+2x|$

Some os termos semelhantes

$4=\dfrac{1}{2}\cdot|3x-7|$

Multiplique ambos os lados da equação por  $2$

 

 $|3x-7|=8$

Então, lembre-se que  $|x|=\begin{cases}x,~\bold{se~x>0}\\-x,~\bold{se~x<0}\\\end{cases}$

 

Assim, teremos duas possíveis soluções:

$3x-7=8~~~\mathtt{ou}~~~3x-7=-8$

Some  ambos os lados das duas equações

$3x=15~~~\mathtt{ou}~~~3x=-1$

Divida ambos os lados das equações por  $3$

 

 $x=5~~~\mathtt{ou}~~~x=-\dfrac{1}{3}$

Dessa forma, as possíveis coordenadas para este vértice são:

 $(5,~0)$ ou $\left(-\dfrac{1}{3},~0\right)$.