Question

Verifique se Y=2+Ce^-3 é solucação da equação diferencial y'+3x²y=6x²

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para verificarmos se $y=2+Ce^{-x^3}$ é solução da equação diferencial $y'+3x^2y=6x^2$, temos duas opções:

a) Substituímos a solução

$(2+Ce^{-x^3})'+3x^2\cdot (2+Ce^{-x^3})=6x^2$

Para calcular a derivada, lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma constante é igual a zero.
• A derivada do produto entre uma constante e uma função é dado por: $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$.
• A derivada da função exponencial é a própria função exponencial.
• A derivada de uma função composta é dada pela regra da cadeia: $(f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x))$.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

Aplique a regra da soma e efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$(2)'+(Ce^{-x^3})'+6x^2+3x^2\cdot Ce^{-x^3}=6x^2$

Calcule a derivada da contante e do produto

$0+C\cdot (e^{-x^3})'+6x^2+3x^2\cdot Ce^{-x^3}=6x^2$

Calcule a derivada da função exponencial, aplicando a regra da cadeia

$C\cdot (-x^3)'\cdot e^{-x^3}+6x^2+3x^2\cdot Ce^{-x^3}=6x^2$

Calcule a derivada de produto e da potência

$C\cdot (-3x^2)\cdot e^{-x^3}+6x^2+3x^2\cdot Ce^{-x^3}=6x^2$

Multiplique os valores

$3Cx^2e^{-x^3}+6x^2-3Cx^3e^{-x^3}=6x^2$

Cancele os termos opostos

$6x^2=6x^2~~\checkmark$

b) Resolvemos a equação diferencial

Seja a equação diferencial da forma: $y'+P(x)y=Q(x)y^n$.

Esta é uma equação de Bernoulli. No nosso caso, temos $n=0$, logo ao compararmos, temos:

$\begin{cases}P(x)=3x^2\\Q(x)=6x^2\\\end{cases}$

O fator integrante é calculado por: $e^{\int P(x)\,dx}$

Substituindo a expressão em $P(x)$, teremos

$\bold{I.F=e^{\int 3x^2\,dx}}$

Para calcular esta integral, lembre-se que: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot \int f(x)\,dx}$ e $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$, tal que $C$ é a constante de integração.

Assim, teremos:

$\bold{I.F=e^{3\cdot\left(\frac{x^3}{3}+C_1\right)}}$

Multiplique os valores

$\bold{I.F=e^{x^3+3C_1}}$

Reescrevendo a potência como um produto de potências de mesma base, temos

$\bold{I.F=e^{x^3}\cdot e^{3C_1}}$

Reescrevendo $\bold{e^{3C_1}=C_2}$, temos

$\bold{I.F=C_2e^{x^3}}$

A solução desta equação de Bernoulli é dada por:

$y=\dfrac{\displaystyle{\int Q(x)\cdot \bold{I.F}\,dx}}{\bold{I.F}}$

Substituindo $Q(x)$ e o fator integrante, teremos

$y=\dfrac{\displaystyle{\int 6x^2\cdot C_2e^{x^3}\,dx}}{C_2e^{x^3}}$

Aplique a propriedade da constante

$y=\dfrac{\displaystyle{C_2\cdot \int 6x^2e^{x^3}\,dx}}{C_2e^{x^3}}\\\\\\\\ y=\dfrac{\displaystyle{\int 6x^2e^{x^3}\,dx}}{e^{x^3}}$

Para resolver esta integral, faça uma substituição $u=x^3$. Derivando ambos os lados da equação, teremos o diferencial $du$:

$u'=(x^3)'\\\\\\ du=3x^2\,dx$

Veja que este termo já está presente na integral, logo

$y=\dfrac{\displaystyle{\int 2e^u\,du}}{e^{x^3}}$

Sabendo que $\displaystyle{\int e^x\,dx=e^x+C$, teremos

$y=\dfrac{2e^{u}+2C_4}{e^{x^3}}$

Desfaça a substituição e seja $2C_4=C$

$y=\dfrac{2e^{x^3}+C}{e^{x^3}}$

Multiplique a fração por $\dfrac{e^{-x^3}}{e^{-x^3}}$

$y=2+Ce^{-x^3}~~\checkmark$