Uma determinada família, constituída por
um casal e outras treze pessoas adultas,
decidiu viajar para comemorar as bodas de
ouro do casal. Para facilitar a viagem, a
família decidiu se dividir, igualmente, em
três grupos, de forma que o casal viaje,
necessariamente, em um mesmo grupo.
A quantidade de formas distintas em que
essa família pode dividir-se seguindo a
configuração especificada é dada por

Anexos:

Respostas

respondido por: manuel272

Resposta:

Resposta correta Opção . D) : [1/(2!)] . C(13,3) . C(10,5) . C(5,5)

Explicação passo-a-passo:

O que sabemos:

=> Temos 1 casal mais 13 pessoas

=> Divisão em 3 grupos (de 5 pessoas)

=> Única restrição: O casal tem de viajar junto no mesmo grupo

O que pretendemos saber:

"..A quantidade de formas distintas em que essa família pode dividir-se.."

RESOLVENDO:

A resolução da primeira parte deste exercício é fácil ´pois o seu grau de dificuldade só vai surgir na fase final da resolução.

Assim, vou "suspender" a resolução no ponto em que vai ser necessário explicar a sua parte final e, sobretudo, explicar a sua razão de ser.

→ Para escolher o 1º grupo (que acompanha o casal) temos o número de possibilidades dado por: C(13,3)

→ Para escolher o 2º grupo temos o número de possibilidades dado por: C(10,5)

→ Para escolher o 3º grupo (com os 5 elementos restantes) temos o número de possibilidades dado por: C(5,5)

Assim, a quantidade (N) de formas distintas em que essa família pode dividir-se, SERIA dada por:

N = C(13,3) . C(10,5) . C(5,5)

....vamos suspender aqui o desenvolvimento e explicar os passos seguintes

NOTAS IMPORTANTES:

⇒ Quando usamos a "Combinação Simples" para definir CADA GRUPO nós eliminamos as repetições em cada grupo ...MAS ..resta retirar mais uma repetição (vamos ver porquê).

⇒ Em relação ao grupo (de 5 pessoas) formado com o casal obtido por C(13,3) ele é único e irrepetível (só um grupo tem o casal)

..mas a permutação entre as combinações dos restantes grupos [..C(10,5) e C(5,5)..] vai produzir duplicações,

....pois qualquer que seja o grupo encontrado em C(10,5) ele vai ter sempre 1 repetição em C(5,5), concretizando:

Pois se:

C(10,5) resultar (por exemplo) em: João, Carlos, Luis, Maria, José

C(5,5) vai ter (por exemplo): Joana, Carla, Joaquim, Ana, Rita

agora veja que QUALQUER QUE SEJA C(13,3) teremos SEMPRE estas 2 situações:

→ C(13,3) . (João, Carlos, Luis, Maria, José) . (Joana, Carla, Joaquim, Ana, Rita)

e vamos ter também:

→ C(13,3) . (Joana, Carla, Joaquim, Ana, Rita) . (João, Carlos, Luis, Maria, José)

..estas 2 permutações resultam em 2 contagens de 2 grupos iguais ..pois a sua ordem não é importante!

A única forma de retirar esta repetição será dividir por " 2! " a expressão que obtivemos acima, donde resulta a expressão final de (N) dada por:

N = [C(13,3) . C(10,5) . C(5,5)] / 2!

...o que equivale a

N = [1/(2!)] . C(13,3) . C(10,5) . C(5,5)

Resposta correta Opção . D) : [1/(2!)] . C(13,3) . C(10,5) . C(5,5)

Espero ter ajudado

Resposta garantida por Manuel272

(colaborador regular do brainly desde Dezembro de 2013)

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