Question

Calcule o limite.

(POR FAVOR, SEM l'Hôpital, com LIMITES mesmo)

[x tende a 0, aí é x vezes o seno de 1/x]


$\lim_{x \to \0 xsen\frac{1}{x}$

Answer 1

Temos o seguinte limite:

$\sf\lim_{x \to 0 }x.sen \left\frac{1}{x} \right$

A primeira coisa que devemos fazer é substituir o valor a qual o "x" tende só para verificar se já ou não indeterminações.

$\sf\lim_{x \to 0 }x.sen \left\frac{1}{x} \right \longleftrightarrow 0.sen \frac{1}{0}$

Uma divisão por "0" não é definida, então podemos dizer sim que esse limite possui indeterminação. Partindo dessa ideia devemos usar algumas manipulações afim de removê-las.

→ Esse limite deverá ser calculado através do Teorema do confronto. Sabemos que o seno varia o seu valor de -1 à 1, então:

$\sf - 1 \leqslant sen \frac{1}{x} \leqslant 1$

Mas a expressão que temos não é essa que está no meio da desigualdade, então devemos multiplicá-la pelo termo que falta, ou seja, x:

$\sf - 1 \leqslant sen \frac{1}{x} \leqslant 1 \: \: \: \:. (x) \\ \\ \sf - x \leqslant x.sen \frac{1}{x} \leqslant x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Aplicando o limite em todos os termos:

$\sf - x \leqslant x.sen \frac{1}{x} \leqslant x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf\lim_{x \to 0 } - x \leqslant \lim_{x \to 0 } x.sen \frac{1}{x} \leqslant \lim_{x \to 0 } x \\ \\ \sf - 0 \leqslant \lim_{x \to 0 } x.sen \frac{1}{x} \leqslant 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{ \sf 0 \leqslant \lim_{x \to 0 } x.sen \frac{1}{x} \leqslant 0 } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Isso implica que o valor desse limite só pode ser igual a "0", já que ele está entre dois valores iguais, o que indica que ele deve ser igual. Portanto podemos concluir que:

$\boxed{\sf\lim_{x \to 0 }x.sen \left\frac{1}{x} \right = 0 }$

Espero ter ajudado