Question

calcule a integral ∫(x2 + 1)/x2 . dx

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\sf \int \frac{x {}^{2} + 1 }{x {}^{2} } dx$

Podemos separar essa expressão em uma soma de denominadores iguais:

$\sf \int \left(\frac{x {}^{2} }{x {}^{2} } + \frac{1}{x {}^{2} } \right) dx$

Lembre-se que a integral da soma ou subtração de funções é igual a integral de cada uma das funções envolvidas:

$\boxed{ \sf \int [ f(x) + g(x) ]dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx}$

Aplicando:

$\sf \int \frac{x {}^{2} }{x {}^{2} }dx + \int \frac{1}{x {}^{2} } dx \\ \\ \sf \int 1dx + \int \frac{1}{ {x {}^{2} }}dx \:$

Podemos aplicar a regra da potência naquela fração:

$\sf \frac{1}{a {}^{n} } = a {}^{ - n} \\ \\ \sf \int 1dx + \int x {}^{ - 2} dx$

Por fim é só aplicar a regra da potência, dada pela seguinte relação:

$\boxed{ \sf \int x {}^{n} dx = \frac{x {}^{n + 1} }{n + 1} + C}$

Aplicando:

$\sf \frac{x {}^{0 + 1} }{0 + 1} + \frac{x {}^{ - 2 + 1} }{ - 2 + 1} + C \\ \\ \boxed{\sf x - x {}^{ - 1} + C} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado