Cinco rapazes e duas moças devem ocupar os sete lugares de uma mesma fila de um cinema. a. De quantas maneiras distintas eles podem ocupar esses sete lugares? b. De quantos modos eles podem ocupar esses sete lugares se as moças devem ficar juntas? c. De quantos modos eles podem ocupar esses sete lugares se as moças devem ficar separadas?
Respostas
Resposta:
a) 5040;
b) 132;
c) 138;
Explicação passo-a-passo:
Respostas:
Resposta a)
Existem CINCO rapazes e DUAS moças, portanto, SETE pessoas.
Eles não fizeram nenhuma escolha com relação a ocupação dos lugares, portanto, no primeiro lugar podem se sentar SETE pessoas.
No segundo lugar podem se sentar SEIS pessoas, porque UMA já ocupou o primeiro lugar.
No terceiro lugar podem se sentar CINCO pessoas, porque DUAS já ocuparam os dois primeiros lugares.
No quarto lugar podem se sentar QUATRO pessoas, porque TRÊS já ocuparam os três primeiros lugares.
E, assim, sucessivamente.
Para sabermos de quantas maneiras distintas eles podem ocupara esses sete lugares, basta multiplicarmos: 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040.
Resposta b) Para as DUAS moças ficarem JUNTAS, por óbvio, uma deve ficar ao lado da outra.
Imaginemos que os lugares estão marcados com as letras “A”, “B”, “C”, “D”, “E”, “F” e “G.”
Assim, se uma moça se sentar no lugar “A”, a outra deve se sentar no lugar “B” para elas poderem ficar juntas. Nessa situação temos um das 2 moças poderia se sentar no lugar “A” e a outra se sentaria no lugar “B”. Para saber o valor total de opções de lugares nessa situação basta multiplicarmos 2 x 1 = 2
Essa mesma situação vai acontecer de B para C, ou seja mais 2 posições.
De C para D, ou seja, mais 2 posições.
De D para E, mais 2 posições.
DE E para F, mais 2 posições.
DE F para G, mais 2 posições.
Somando todas essas opções teremos 12 posições para as moças se sentarem juntas.
Mas, ainda faltam os rapazes se sentaram nos cinco demais lugares que sobraram, após termos colocados as moças juntas. Como não existem restrições quanto a ordem dos rapazes, em um dos cinco acentos que sobraram poderemos colocar qualquer um dos CINCO rapazes em qualquer um deles. No próximo lugar apenas QUATRO, e assim sucessivamente, até completarmos os cinco lugares.
Assim, para sabermos de quantos modos os rapazes poderão se sentar nos cinco lugares que faltam, devemos multiplicar: 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 posições.
Como já temos 12 posições relativos as moças, basta somarmos 120 + 12 = 132 para chegarmos a resposta b.
Existem 132 modos dessas sete pessoas ocuparem os lugares se as duas moças ficarem juntas.
Resposta c)
Para as DUAS moças ficarem SEPARADAS, uma NÃO deve ficar ao lado da outra.
Imaginemos que os lugares estão marcados com as letras “A”, “B”, “C”, “D”, “E”, “F” e “G.”
Se uma das moças sentar no lugar “A” a outra não deve sentar no lugar “B”, mas poderia sentar em um dos demais lugares, por exemplo, no lugar “C”, no lugar “D”, e assim, sucessivamente. Então, uma das moças poderia sentar no lugar “A” e a outra moça poderia se sentar em qualquer um dos outros 5 lugares (“C”, “D”, “E”, “F” e “G.”), no total de mais 5 opções, portanto, 2 x 5 = 10
Como o lugar “A” está preenchido não poderemos utilizar o lugar “B”, porque as moças devem ficar separadas. Assim, teremos que ir para o lugar “C”.
Se uma das moças sentar no lugar “C” a outra não deve sentar no lugar “D”, mas poderia sentar em um dos demais lugares, por exemplo, no lugar “E”, no lugar “F” ou “G”.
Então, uma das moças poderia sentar no lugar “C” e a outra moça em qualquer um dos outros 3 lugares (“E”, “F” e “G.”), no total de mais 3 opções, portanto, 2 x 3 = 6
Lembrando que as posições anteriores já foram calculadas acima.
Como o lugar “C” está preenchido não poderemos utilizar o lugar “D”, porque as moças devem ficar separadas. Assim, teremos que ir para o lugar “E”.
Se uma das moças sentar no lugar “E” a outra não deve sentar no lugar “F”, mas poderia sentar no lugar “G”.
Então, uma das moças poderia sentar no lugar “E” e a outra moça no lugar “G”, no total de mais 1 opções, portanto, 2 x 1 = 2.
Somando todas essas opções teremos 12 posições para as moças se sentarem juntas: 10 + 6 + 2 = 18.
Mas, ainda faltam os rapazes se sentaram nos cinco demais lugares que sobraram, após termos colocados as moças separadas. Como não existem restrições quanto a ordem dos rapazes, em um dos cinco acentos que sobraram poderemos colocar qualquer um dos CINCO rapazes em qualquer um deles. No próximo lugar apenas QUATRO, e assim sucessivamente, até completarmos os cinco lugares.
Assim, para sabermos de quantos modos os rapazes poderão se sentar nos cinco lugares que faltam, devemos multiplicar: 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 posições.
Como já temos 18 posições relativos as moças, basta somarmos 120 + 18 = 138 para chegarmos a resposta c.
Existem 138 modos dessas sete pessoas ocuparem os lugares se as duas moças ficarem separadas.
ESSE É O RACIOCÍNIO, MAS UTILIZANDO A FORMULA DA PROBABILIDADE SERIA MAIS RÁPIDO.