Question

Calcule a área total e o volume de um prisma regular hexagonal de altura igual a 6 . cm e perímetro da base igual a 24 cm.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Geometria Espacial

Prisma exagonal

Calcular a área total d'um prisma exagonal cuja altura mede 6cm e perímetro da base vale 24cm.

Dá-se nome de área total à soma da área da superfície lateral com as áreas das bases, sendo representado pelo símbolo $\red{\sf{A_{T}}}$.

Então as áreas das superfícies laterais ( faces) d'um qualquer prisma depende do número das arestas das bases.

Se a base têm n arestas, o prisma terá também n faces.

Perceba que a base do prisma em questão têm 6 arestas ( Exagono ) , por tanto o prisma têm 6 faces rectangulares.

Então a área lateral é a soma das áreas de suas faces.

$\sf{ A_{L}~=~ 6*A_{rect\acute{a}ngulo} }$

Quanto à área da base é exatamente a área da figura Geométrica que compõe esta base neste caso vai ser a área do Exagono e a área do Exagono é seis vezes a área do triângulo equilátero.

$\sf{ A_{b}~=~ 6*\Big( \dfrac{L^2 \sqrt{3}}{4}\Big) }$

Logo a área total vai ser :

$\boxed{ \sf{ \color{blue}{A_{T}~=~ 6*b*h+ 2\Big( \dfrac{6L^2\sqrt{3}}{4}\Big) } } }$

Temos que o perímetro do exagono é 24cm :

6b ~=~ 24

b = 4cm

Então :

$\iff \sf{ A_{T}~=~ 6*4*6 + 12*\dfrac{4^2*\sqrt{3}}{4} }$

$\iff \sf{ A_{T}~=~ 36*4 + 3*16\sqrt{3}~=~3*4(9+4\sqrt{3})cm }$

$\green{ \iff \boxed{\boxed{\sf{ A_{T}~=~ 12(9+ 4\sqrt{3})cm } } } \sf{ \longleftarrow Resposta } }$

_____________________________________________________

Celular o volume do prisma.

$\sf{ V~=~ A_{b} * h }$

$\iff \sf{ V~=~ \dfrac{6*L^2\sqrt{3}}{4}* h }$

$\iff \sf{ V~=~ \dfrac{6*4^2\sqrt{3}}{4}*4 }$

$\iff \pink{\sf{ V~=~ 96\sqrt{3}cm^3 \longleftarrow Resposta }}$

Espero ter ajudado bastante!)