Question

calcule a integral definida

Answer 1

Temos a seguinte integral definida:

$\sf\int_{2}^{3}(3x {}^{2} - 2x + 3)dx$

Primeiro devemos integrar essa função e depois substituir os limites da integral. Vamos lembrar que a integral da soma ou subtração de várias funções é igual a soma ou subtração de cada uma das integrais das funções envolvidas.

$\boxed{\sf \int [f(x) + g(x) ]dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx}$

Aplicando essa propriedade:

$\sf \int_{2}^{3}3x {}^{2} dx - \int_{2}^{3}2xdx + \int_{2}^{3}3dx$

Vamos resolver todos os valores constantes de dentro da integral, pois como sabemos as constantes possuem a capacidade de transitar livremente para dentro e fora da integral:

$\boxed{\sf \int k.f(x)dx =k \int f(x)dx}$

Aplicando esta outra propriedade:

$3\sf \int_{2}^{3}x {}^{2} dx - 2 \int_{2}^{3}xdx + 3\int_{2}^{3}dx$

Por fim para finalizar a integração, basta aplicar mais uma propriedade que é a de potência das integrais:

$\boxed{\sf \int x {}^{n} dx = \frac{x {}^{n + 1} }{n + 1} }$

Não vamos usar a constante nesse cálculo pelo motivo de que trata-se de uma integral definida.

$\sf 3. \frac{x {}^{2 + 1} }{2 + 1} - 2. \frac{x {}^{1 + 1} }{1 + 1} + 3. \frac{x {}^{0 + 1} }{0 + 1} \\ \\ \sf \frac{3x {}^{3} }{3} - \frac{2x {}^{2} }{2} + 3x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf x {}^{3} - x {}^{2} + 3x\begin{array}{c|c} & \sf3\\ \\& \sf2 \end{array} \: \: \:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Para finalizar a questão, vamos lembrar que o Teorema fundamental do cálculo diz que:

$\sf \int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a) \\ \\ \ast \sf F(b) - F(a) = \begin{array}{c|c} & \sf b\\ \\& \sf a \end{array} \: \: \: \:$

Aplicando:

$\sf (3) {}^{3} - 3 {}^{2} + 3.3 - (2 {}^{3} - 2 {}^{2} + 3.2) \\ \sf 27 - 9 + 9 - 8 + 4 - 6 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf 27 - 10 = \boxed{ \boxed{\sf17}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado