Question

esboce a figura e calcule a area da regiao sob a curva y=2x-x²

Answer 1

Essa área é praticamente limitada pelas raizes da parábola da função y = 2x - x², então vamos encontrar as raízes por mais que estejam nítidas na imagem, para isso vamos igualá-la a "0":

$\sf x.(2 - x ) = 0 \longrightarrow \begin{cases}\boxed{ \sf x_1 = 0 }\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf \sf 2 - x_2= 0 \: \: \: \: \: \\ \boxed{\sf x_2 = 2 }\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \end{cases}$

Portanto podemos supor que a integral definida seja dada pela seguinte estrutura:

$\sf \int_{0}^{2} [ f(x) - g(x)] dx$

A função f(x) é notavelmente dada pela questão, ou seja, y = 2x - x², já a função g(x) é representada pela reta que está lado a lado com o eixo das abscissas, que é y = 0, podemos então dizer que:

$\sf \int_{0}^{2} (2x - x {}^{2} - 0 ) dx \longleftrightarrow \int_{0}^{2} (2x - x {}^{2}) dx$

Agora basta integramos essa função. Primeiro vamos aplicar a propriedade da soma/subtração de integrais, que é dada por:

$\boxed{\sf \int [f(x) + g(x) ] dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx}$

Aplicando essa propriedade:

$\sf \int_{0}^{2} 2x \: dx - \int_{0}^{2} x {}^{2}dx$

Vamos remover o número dois de dentro da integral, já que constantes possuam a capacidade de transitar livremente para dentro e fora da integral:

$\boxed{\sf \int k.f(x)dx =k \int f(x)dx}$

Aplicando mais uma propriedade:

$\sf 2\int_{0}^{2} x \: dx - \int_{0}^{2} x {}^{2} dx$

Para finalizar a integração, falta só aplicar aplicar mais uma propriedade que a de potências nas integrais, dada por:

$\boxed{\sf \int x {}^{n} dx = \frac{x {}^{n + 1} }{n + 1} }$

Adotando a propriedade:

$\sf 2. \frac{x {}^{1 + 1} }{1 + 1} - \frac{x {}^{2 + 1} }{2 + 1} \longleftrightarrow \boxed{\sf x {}^{2} - \frac{x {}^{3} }{3} \begin{array}{c|c} & \sf 2\\ \\& \sf 0 \end{array}}$

Não é necessário colocar a constante de integração, já que trata-se de uma integral definida. Finalizando a questão, devemos usar o Teorema fundamental do cálculo, que diz:

$\sf \int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a) \\ \\ \ast \sf F(b) - F(a) = \begin{array}{c|c} & \sf b\\ \\& \sf a \end{array} \: \: \: \:$

Aplicando:

$\sf 2 {}^{2} - \frac{2 {}^{3} }{3} - 0 {}^{2} + \frac{0 {}^{3} }{3} \longleftrightarrow 4 - \frac{8}{3} \to \\ \\ \sf \to \frac{3.4 - 8}{3} \longleftrightarrow \frac{12 - 8}{3} \longleftrightarrow \boxed{ \sf \frac{4}{3} u.a}$

Espero ter ajudado