Question

Use indução para provar que: o numero n³- n e divisível por 3 para todo n ∈ N.

Answer 1

Resposta:Parte 1: Testemos para a base n = 1.

n³ + 2n = 1³ + 2.1 = 1 + 2 = 3 (V)

Parte 2: Passo indutivo.  

Suponha que 3 divide k³ + 2k(Hipótese). Assim, provemos a validade para k + 1, ou seja, 3 divide (k + 1)³ + 2 (k + 1) (Tese)

Vamos manipular a tese, que é o que não sabemos se é verdade:

Porém, k³ + 2k é divisível por 3(por hipótese), e 3(k² + k + 1) é divisível por 3. Assim, fica provado que, para todo n inteiro positivo, n³ + 2n é divisível por 3.

Explicação passo-a-passo: