Question

Calcule o limite: $\lim_{x \to \inft0}$ $\frac{sen(x/3)}{x}$

Answer 1

Não sei se o "x" tende para "0" ou para infinito, por esse motivo farei de duas formas, a primeira é quando "x" tende a 0 e a outra quando "x" tende para o infinito.

• Primeira forma:

Temos o seguinte limite:

$\sf \lim_{x \to 0} \frac{ \sf sen \frac{x}{3} }{x}$

Para encontrar o resultado desse limite, podemos forçar o aparecimento do limite trigonométrico dado por $\sf\lim_{x\to 0}\frac{sen(u)}{u}=1$, seguindo essa ideia, vamos multiplicar o numerador e o denominador por um terço, pois se fizermos essa multiplicação em ambas as parte não estaremos alterando nada:

$\sf \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{1}{3} \sf sen \frac{x}{3} }{x. \frac{1}{3} } \longleftrightarrow \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{1}{3} sen \frac{x}{3} }{ \frac{x}{3} }$

Podemos separar essa multiplicação, pois fazendo isso chegaremos ao limite trigonométrico:

$\sf \lim_{x \to 0} \frac{1}{3} . \frac{sen \frac{x}{3} }{ \frac{x}{3} }$

Você há de lembrar que quando tem-se a multiplicação de funções em um limite, podemos desmembrar esse limite para cada uma das funções envolvidas:

$\boxed{\sf \lim_{x \to a} [f(x).g(x)] = \lim_{x \to a}f(x).\lim_{x \to a}g(x)}$

Aplicando a propriedade:

$\sf \lim_{x \to 0} \frac{1}{3}. \lim_{x \to 0} \frac{sen \frac{x}{3} }{ \frac{x}{3} }$

No começo da questão eu havia falado do limite trigonométrico que possui um valor preestabelecido, já que obtemos justamente o tal, podemos apenas substituir o seu valor:

$\sf \lim_{x \to 0} \frac{1}{3} .1$

O limite de uma constante é igual a constante:

$\boxed{\sf \lim_{x \to a}k = k}$

Aplicando essa propriedade, chegamos então a conclusão que:

$\boxed{ \sf \lim_{x \to 0} \frac{ \sf sen \frac{x}{3} }{x} = \frac{1}{3}}$

Agora vamos fazer a segunda possibilidade:

• Segunda forma:

$\sf\lim_{x \to \infty } \frac{sen \frac{x}{3} }{x}$

Para resolver esse limite devemos aplicar o Teorema do confronto, sabemos que o seno varia o seu valor de -1 à 1, então:

$\sf - 1 \leqslant sen \frac{x}{3} \leqslant 1$

Mas essa não é de fato a expressão que possuímos, então vamos multiplicar todos os termos por 1/x:

$\sf - 1 \leqslant sen \frac{x}{3} \leqslant 1 \: \: . \: \: (1/x) \\ \\ \sf - \frac{ 1}{x} \leqslant \frac{sen \frac{x}{3} }{x} \leqslant \frac{1}{x} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Aplicando limites em todas as expressões que fazem parte dessa desigualdade:

$\sf \lim_{x \to \infty } - \frac{1}{x} \leqslant \lim_{x \to \infty } \frac{sen \frac{x}{3} }{x} \leqslant \lim_{x \to \infty } \frac{1}{x} \\ \\ \sf - \frac{1}{ \infty } \leqslant \lim_{x \to \infty } \frac{sen \frac{x}{3} }{x} \leqslant \frac{1}{ \infty } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{ \sf 0 \leqslant \lim_{x \to \infty } \frac{sen \frac{x}{3} }{x} \leqslant 0 \: \: } \: \: \: \: \: \: \:$

Isso implica dizer que:

$\boxed{ \sf\lim_{x \to \infty } \frac{sen \frac{x}{3} }{x} = 0}$

Espero ter ajudado

Answer 2

❑ O limite vale 1/3.

❑ Quando temos um limite, a primeira ideia é substituir o valor para o qual a variável tende, nesse caso, zero:

$\lim_{x \to 0} \dfrac{sen (\dfrac{x}{3} )}{x}$

$\lim_{x \to 0} \dfrac{sen (\dfrac{0}{3} )}{0}$

$\lim_{x \to 0} \dfrac{sen (0)}{0}$

$\lim_{x \to 0} \dfrac{0}{0}$

❑ Chegamos a uma indeterminação! E agora? Vamos aplicar a regra de L'Hospital. Caso você não conheça, vamos a uma breve explicação sobre como ela funciona na prática:

➯ Basta derivar o numerador e derivar o denominador do limite, SEPARADAMENTE (ou seja, não é para derivar a fração inteira como uma coisa só).

$\lim_{x \to 0} \dfrac{sen (\dfrac{x}{3} )'}{x'}$

➯ Para fazer isso, vamos relembrar alguns conceitos de derivada:

❑ Derivada do seno

$\boxed{ sen'(x) = cos(x) }$

❑ Regra do tombamento

➯ Se eu tenho uma função:

• f(x) = xⁿ

A sua derivada será:

$\boxed { f'(x) = n \cdot x^{n-1} }$

➯ Ou seja, eu "tombo" o expoente multiplicando e subtraio 1.

❑ Regra da cadeia

➯ Observação: a função que está fora pode variar, mas o importante é entender que ela será derivada normalmente e multiplicada pela derivada do argumento (do que está dentro).

$\boxed{ sen'(argumento) =cos (argumento) \cdot (argumento)' }$

❑ Resolução do exercício

➯ Aplicando L'Hospital:

$\lim_{x \to 0} \dfrac{sen (\dfrac{x}{3} )'}{x'}$

$\lim_{x \to 0} \dfrac{sen (\dfrac{x}{3} )'}{x'}$

• Qual a derivada sen (x/3)?

A derivada de seno é cosseno, mas é preciso aplicar a regra da cadeia por causa do x/3:

$sen'(\dfrac{x}{3} )= cos (\dfrac{x}{3} )\cdot (\dfrac{x}{3})'$

Qual a derivada de x/3? Vamos aplicar a regra do tombamento!

$sen'(\dfrac{x}{3} )= cos (\dfrac{x}{3} )\cdot (\dfrac{1 \cdot x^{1-1} }{3})$

$sen'(\dfrac{x}{3} )= cos (\dfrac{x}{3} )\cdot (\dfrac{1 \cdot x^{0} }{3})$

Qualquer número elevado a 0 dá 1.

$\boxed{sen'(\dfrac{x}{3} )= cos (\dfrac{x}{3} )\cdot \dfrac{1}{3} }$

• Qual a derivada de x?

Aplicando a regra do tombamento:

$x' = 1 \cdot x^{1-1}$

$x' = 1 \cdot x^{0}$

$\boxed{ x' = 1 }$

• Substituindo no limite:

$\lim_{x \to 0} \dfrac{sen (\dfrac{x}{3} )'}{x'}$

$\lim_{x \to 0} \dfrac{ cos (\dfrac{x}{3} )\cdot \dfrac{1}{3}}{1}$

$\lim_{x \to 0}cos (\dfrac{x}{3} )\cdot \dfrac{1}{3}$

Agora, sim, é possível resolver substituindo 0:

$cos (\dfrac{0}{3} )\cdot \dfrac{1}{3}$

$cos (0)\cdot \dfrac{1}{3}$

O cosseno de 0º vale 1.

$1 \cdot \dfrac{1}{3}$

$\boxed{ \lim_{x \to 0} \dfrac{sen (\dfrac{x}{3} )}{x} = \dfrac{1}{3} }$

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