Question

SEJA OABC um tetraedro de vertices...

Answer 1

Resposta:

$\sqrt 6 / 3$

Explicação passo-a-passo:

Tomando o ponto O como origem, os vetores u, v e w que formam o tetraedro são

u = OA = (1, 0, 1)

v = OB = (0, 1, 2)

w = OC = (1, 1, 1)

Podemos determinar a atura do tetraedro pela seguinte relação

$h = [v, w, u] / |v \wedge w|$

em que $[v, w, u] = |v \wedge w \cdot u|$

Estamos tomando o produto vetorial com os vetores v e w porque queremos a altura em relação ao plano OBC

Temos que

$[v, w, u] = det \left[\begin{array}{ccc}0&1&2\\1&1&1\\1&0&1\end{array}\right] = -2$

Tiramos o módulo da resposta, tal que

$|-2| = 2$

Vamos agora calcular $|v \wedge w|$

$|v \wedge w| = \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\0&1&2\\1&1&1\end{array}\right] = -i+2j-k$

Tomando o móludo

$\sqrt{(-1)^2 + 2^2 +(-1)^2} = \sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}$

Portanto, temos que a aultura $h$ do tetraedo é

$h = 2 /\sqrt6 = \sqrt6 / 3$