Question

Dado uma função definida como f(x)=3, determine o volume do sólido de revolução no intervalo x=0 a x=5. O gráfico da função está representando abaixo ​

Answer 1

Para encontrar o volume desse sólido formado através da rotação da função f(x) = 3 delimitada pelas funções x = 0 e x = 5, devemos usar o artifício chamado integral. Podemos dividir esse sólido em vários discos bem pequenos, pois se soubermos o volume de um desses discos, podemos somar todos eles e encontrar o volume de fato. Esse discos tem o formato de um cilindro, então a integral será do tipo:

$V = \int_{a}^{b}v_{cilindro}$

Se você bem lembra o volume de um cilindro é dado pela área da base vezes a altura:

$V = \int_{a}^{b}Ab . h$

Expandindo a expressão da área da base que é um círculo, temos:

$V = \int_{a}^{b} \pi.r {}^{2} .h$

Mas, pela figura vemos que a altura é representada pela diferencial de "x" e o raio é representado pela função:

$V = \int_{a}^{b}\pi.[f(x) ] {}^{2} dx$

Essa será a fórmula que usaremos para calcular o volume desse sólido formado. A função é dada por f(x) = 3 e os limites "a" e "b" são dados pela funções x, ou seja, os limite são 0 e 5. Substituindo os dados:

$V = \int_{0}^{5}\pi. [3] {}^{2} dx \\ \\ V = \pi\int_{0}^{5}9dx \: \: \: \: \:$

Para integrar essa função, basta lembrar da regra da potência, dada por:

$\boxed{\int x {}^{n} dx = \frac{x {}^{n + 1} }{n + 1} }$

Aplicando a regra:

$V = 9\pi. \frac{x {}^{0 + 1} }{0 + 1} \begin{array}{c|c}&5 \\ \\ &0 \end{array} \\ \\ V = 9\pi x\begin{array}{c|c}&5 \\ \\ &0 \end{array} \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Lembrando do teorema fundamental do cálculo, que diz a seguinte relação:

$\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) \\ \\ F(b) - F(a) = \begin{array}{c|c}&a \\ \\ &b \end{array} \: \: \: \: \: \:$

Aplicando esse tal Teorema:

$V = 9\pi.5 - 9\pi.0 \\ V = 45\pi - 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \boxed{ V = 45\pi \: u.v} \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado