Question

Sobre a relação entre tangente, seno e cossenos (utilizando as relações trigonométricas acima), considerando tg 58°=8/5, determine o valor de: sen 58°, sen 32°, cos 58°, cos 32° e tg 32°.

Answer 1

Resposta:

cos 58 = 5√89 / 89

sen 58 = 8√89 / 89

cos 32 = 8√89 / 89

sen 32 = 5√89 / 89

tg 32 = 5/8

tg 58 = 8/5

Explicação passo-a-passo:

relações trigonometricas:

tg = sen / cos

sen ² + cos ² = 1

sen ( a + b ) = sen a cos b + sen b cos a

cos ( a + b ) = cos a cos b - sen a sen b

tg ( a + b) = tga + tgb / 1 - tga.tgb

resolução:

tentarei criar um numero de equações igual ao numero de incognitas presentes nas mesmas, para poder resolver o problema.

1) sen ² 32 + cos ² 32 = 1

2) sen ² 58 + cos ² 58 = 1

3) tg 32 = sen 32 / cos 32

4) tg 58 = sen 58 / cos 58 = 8/5

5) sen 90 = sen (58 + 32)

1 = sen 58 cos 32 + sen 32 cos 58

6) cos 90 = cos (58 + 32)

0 = cos 58 cos 32 - sen 58 sen 32

com isso temos 6 equações e 6 incógnitas (sen cos e tg de 32 e sen cos e tg de 58) o que permite a resolução de um sistema

vou chamar cada uma das incognitas por uma letra para facilitar o raciocinio

sen 32 = a

sen 58 = b

cos 32 = c

cos 58 = d

tg 32 = e

tg 58 = f = 8/5

1) a² + c² = 1

2) b² + d² = 1

3) e = a/c

4) f = b/d = 8/5

5) 1 = b.c + a.d

6) 0 = d.c - b.a

4) b/d = 8/5

5b = 8d

b = 8d/5

substituindo em 2)

(8d/5)² + d² = 1

64d²/25 + 25d²/25 = 1

64 d² + 25 d² = 25

89 d² = 25

d² = 25/89

d = +-√25/89, como d = cos 58 e sabemos que o cosseno é positivo no primeiro quadrante, ignoramos o valor negativo.

d = √25/89

d = 5/√89 . √89/√89

d = (5√89) / 89

achamos o valor do cos 58, agora podemos substituir d em b² + d² = 1 para achar b

b² + ((5√89)/89)² = 1

b² + 25.89/89² = 1

b² + 25/89 = 1

b² = 1 - 25/89

b² = 89/89 - 25/89

b = √64/89

b = 8/√89 ou (8√89) / 89

vale lembrar que sen a = cos b caso a e b sejam angulos complementares, exemplo: sen 60 = cos 30 por 60+30 = 90, sen 89 = cos 1, etc. como achamos o cos 58 e o sen 58 podemos achar cos e sen 32 usando essas relações

k) cos 32 = sen 58

l) cos 58 = sen 32

ou se preferir

k) c = b

l) d = a

bom, com isso cos 32 = 8√89 / 89

e

sen 32 = 5√89 / 89

tg 32 = sen 32 / cos 32

tg 32 = 5√89 / 89 . 89 / 8√89

tg 32 = 5/8