Question

Alguem sabé como resolveria essa questão de Calculo I sobre Limites?

Answer 1

O que é o limite?

Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice vai crescendo, i.e. tende para infinito. 

Letra A.

$lim_{x→2}( \frac{x {}^{3} - 8}{ \sqrt{x} - \sqrt{2} } )$

Avalie os limites do numerador e o denominador separadamente.

Sendo assim...

$lim_{x→2}(x {}^{3} - 8) \\ lim_{x→2}( \sqrt{x} - \sqrt{2}$

Calcule os limites.

Sendo assim...

$0 \\ 0$

Dada que a expressão

$\frac{0}{0}$

é indeterminada, tente transformar a expressão.

Sendo assim...

$lim_{x→2}( \frac{x {}^{3} - 8}{ \sqrt{x} - \sqrt{2} } )$

Usando a expressão ( a³ - b³ ) = ( A- B )( a² + ab + b² ) Fatorize a expressão.

Sendo assim...

$lim_{x→2}( \frac{(x - 2) \times (x {}^{2} + 2x + 4)}{ \sqrt{x} - \sqrt{2} } )$

Usando a² - b² = ( A - B )( A + B ) Fatorize a expressão.

Sendo assim...

$lim_{x→2}( \frac{( \sqrt{x} - \sqrt{2} ) \times ( \sqrt{x} + \sqrt{2} ) \times (x {}^{2} + 2x + 4 ) }{ \sqrt{x} - \sqrt{2} } )$

Reduza a fração com

$\sqrt{x} - \sqrt{2}$

.

Sendo assim...

$lim_{x→2}(( \sqrt{x} + \sqrt{2} ) \times (x {}^{2} + 2x + 4))$

Multiplique cada termo dos primeiros parênteses por cada termo do segundo parênteses.

Sendo assim...

$lim_{x→2}( \sqrt{x} x {}^{2} + 2x \sqrt{x} + 4 + \sqrt{2} x {}^{2} + 2 \sqrt{2} x + 4 \sqrt{2}$

Calcule o limite.

Sendo assim...

$\sqrt{2} \times 2 {}^{2} + 2 \times 2 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + \sqrt{2} \times 2 {}^{2} + 2 \sqrt{2} \times 2 + 4 \sqrt{2}$

Simplifique a expressão matemática.

Sendo assim...

$</em><em>\</em><em>red</em><em>{</em><em>\</em><em>boxed</em><em>{</em><em>24 \sqrt{2}</em><em>}</em><em>}</em><em>$

Letra B.

$lim_{x→1}( \frac{x {}^{3} + 3 x{}^{2} - 3x - 1 }{3x {}^{2} - 2x - 1 } )$

Avalie os limites do numerador e o denominador separadamente.

Sendo assim...

$lim_{x→1}(x {}^{3} + 3x {}^{2} - 3x - 1) \\ lim_{x→1}(3x {}^{2} - 2 x - 1)$

Calcule os limites.

Sendo assim...

$0 \\ 0$

Dado que a expressão

$\frac{0}{0}$

é indeterminada, tente transformar a expressão.

Sendo assim...

$lim_{x→1}( \frac{x {}^{3} + 3x {}^{2} - 3x - 1 }{3x {}^{2} - 2x - 1 } )$

Usando a³ - b³ = ( A- B )( a² + ab + b² ) Fatorize a expressão.

Sendo assim...

$lim_{x→1}( \frac{(x - 1) \times (x {}^{2} + x + 1) + 3x {}^{2} - 3x }{3x {}^{2} - 2x - 1 } )$

Coloque o fator 3x em evidência na expressão.

Sendo assim...

$lim_{x→1}( \frac{(x - 1) \times (x {}^{2} + x + 1) + 3x \times (x - 1) }{3x {}^{2} - 2x - 1} )$

Escreva - 2x como uma diferença.

Sendo assim...

$lim_{x→1}( \frac{(x - 1) \times (x {}^{2} + x + 1) + 3x \times (x - 1)}{3x {}^{2} + x - 3x - 1 } )$

Coloque os fatores X - 1, x e o sinal negativo em evidência na expressão.

Sendo assim...

$lim_{x→1}( \frac{(x - 1) \times (x { }^{2} + x + 1 + 3x)}{x \times (3x + 1) - (3x + 1)} )$

Coloque os termos similares em evidência e some os demais e coloque o fator 3x + 1 em evidência na expressão.

Sendo assim...

$lim_{x→1}( \frac{(x - 1) \times (x {}^{2} + 4x + 1) }{(3x + 1) \times (x - 1)} )$

Reduza a fração com x - 1.

Sendo assim...

$lim_{x→1}( \frac{x {}^{2} + 4x + 1}{3x + 1} )$

Calcule o limite.

Sendo assim...

$\frac{1 {}^{2} + 4 \times 1 + 1}{3 \times 1 + 1}$

Calcule o valor matemático.

Sendo assim...

$</em><em>\</em><em>red</em><em>{</em><em>\</em><em>boxed</em><em>{</em><em>\</em><em>frac{3}{2}</em><em>}</em><em>}</em><em>$