Question

consideremos a reta r,de equação x+y-3=0 e a circunferencia de equação x ao quadrado+y ao quadrado-2x-2y-3=0.qual a posição da reta r em relação da circunferecia?

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se a posição relativa da reta "r", de equação: x + y - 3 = 0, em relação à circunferência de equação x² + y² - 2x - 2y - 3 = 0

Veja: primeiro vamos completar os quadrados na equação da circunferência, para que possamos encontrar qual é o centro dela e qual é o seu raio. Para isso, vamos ordenar, ficando:

x² - 2x + y² - 2y - 3 = 0 ---- agora formaremos os quadrados, sempre lembrando de retirar aqueles números que forem adicionados em função da formação dos quadrados. Assim, faremos:

(x-1)² - 1 + (y-1)² - 1 - 3 = 0
(x-1)² + (y-1)² - 5 = 0
(x-1)² + (y-1)² = 5    . (I)  <--- Esta é a equação reduzida da circunferência da sua questão. 

Antes note que quando você tem uma circunferência, com centro em C(xo; yo) e raio = r, a sua equação reduzida será esta:

(x-xo)² + (y-yo)² = r²     . (II)

Agora compare as expressões (I) e (II) e constate que: o centro da circunferência da sua questão é C(1; 1) e o raio = √(5), pois √(5)² = 5.

Agora vamos encontrar a distância do centro C(1; 1) à reta "r", de equação x + y - 3 = 0.
Antes veja que quando você tem uma reta da forma Ax + By + C = 0 e tem um ponto (xo; yo), a distância (d) desse ponto à reta será dada assim:

d = |Axo + Byo + C|/√(A²+B²)

Note que, para as devidas substituições, temos que: A = 1; B = 1; C = - 3; xo = 1; e yo = 1. Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

d = |1*1 + 1*1 - 3|/√(1²+1²)
d = |1 + 1 - 3|/√(2)
d = |- 1|/√(2) ------ note que |-1| = 1. Logo:
d = 1/√(2). ----- para racionalizar, multiplicaremos numerador e denominador por √(2). Assim:

d = 1*√(2)/√(2)*√(2)
d = √(2)/2 ------ como √(2) = 1,41 (aproximadamente), teremos:
d = 1,41/2
d = 0,705 u.m. ----- (u.m. = unidades de medida).

Veja que a distância do centro da circunferência à reta "r" deu 0,705 u.m.

Note que esta distância é menor que o raio da circunferência, que é igual a √(5). E considerando que √(5) = 2,24 u.m. (aproximadamente), então é porque a reta é secante à circunferência (ou seja,  passa dentro da circunferência).

Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.