Question

O valor de $<var>x^4 - y^4 </var>$

                  _____________________________ Para x = 111 e y = 112, é

                   x$<var>x^3 -X^2y + xy^2 - y^3</var>$

 

A)215 B)223 c)1 D)-1 e)214

Answer 1

Lembremo-nos de uma coisinha: $x^4 = (x^2)^2$. Ponto, vamos resolver agora.

Basicamente temos que fatorar tudo que ver pela frente, mas da forma certa (tentei aqui três fatorações diferentes, nenhuma deu certo, só essa da resposta). E qual seria essa forma? Temos que fatorar três coisas de cara, mas outras serão feitas quando necessário:

I) $x^3 + xy^2 = x(x^2 + y^2)$
II) $-y^3 - x^2y = -y(x^2 + y^2)$
III) $x^4 - y^4 = (x^2+y^2)(x^2-y^2)$

Note que se somarmos o primeiro membro das fatorações I e II obtemos o denominador da fração, que chamarei de E. Substituindo essas fatorações na expressão temos:

$E= \frac{(x^2+y^2)(x^2-y^2)}{x(x^2+y^2)-y(x^2)-y^2} \Rightarrow E= \frac{(x^2+y^2)(x-y)(x+y)}{(x^2+y^2)(x-y)}$

Como x≠y podemos cancelar os dois termos x-y do numerador e denominador; se eles fossem iguais teríamos x-y=0 e sabemos que não se pode dividir por 0 (caso não saiba divisão é o que há por trás do cancelamento; se sabia, ignora isso :P ). Daí podemos simplificar a fração de E, onde obtemos:

E = x+y

Agora é só substituir os valores de x e y na expressão acima, onde encontramos que E = 223.

R: b)