Question

Encontrar as coordenadas do ponto “P” que pertence ao eixo das prdenadas

Answer 1

Sobre a reta vermelha, temos a coordenada (2,1) e outra em x =7/2. Se tivéssemos o y da segunda coordenada, poderíamos achar a equação da reta e assim achar o ponto P.

Então vamos achar o y da coordenada ( 7/2, y ).

1º Teremos que achar a equação da parábola. Sabendo que uma parábola pode ser escrita da forma :

$y = a.(x-x_1).(x-x_2)$

Sendo :

$a =$ coeficiente angular

$x_1 \ e \ x_2 =$ raízes.

Então a nossa parábola vai ser formada assim :

$y = -1.(x-1).(x-3)$

( Obs : a = -1 porque a concavidade da parábola está para baixo.)

desenvolvendo a equação da parábola :

$y = -x^2 +4x - 3$

Já que a reta e a parábola se interceptam em x = 7/2, vamos substituir esse ponto de x na equação da parábola e achar o y.

Substituindo x = 7/2

$\displaystyle y = -(\frac{7}{2})^2 +\frac{4.7}{2} - 3 \\\\ \displaystyle y = \frac{-49}{4} + \frac{28}{2} - 3$

portanto :

$\fbox{\displaystyle y = \frac{-5}{4} }$

Agora temos todas as coordenadas que precisamos para achar a equação da reta.

Coordenadas : $\displaystyle (\frac{7}{2}, \frac{-5}{4} ) \ e \ (2,1)$

Agora vamos usar o determinante para achar a equação geral da reta, só fazer esse seguinte "macete" :

$\left |\begin{array}{ccc}x&y\\x_1&y_2\\x_2&y_2\\x&y\end{ar}\right|$

Aí fazemos a soma da diagonal da direita menos a soma da diagonal da esquerda e igualamos a zero.

Substituindo os pontos :$\displaystyle (\frac{7}{2}, \frac{-5}{4} ) \ e \ (2,1)$

$\left |\ \ \begin{array}{ccc}x&y\\ \frac{7}{2}& \frac{-5}{4}\\2&1\\x&y\end{ar}\right|$

diagonal da direita = $\displaystyle \frac{-5x}{4} + \frac{7}{2}+2y$

diagonal da esquerda = $\displaystyle x - \frac{5}{2} + \frac{7y}{2}$

subtraindo e igualando a zero:

$\displaystyle \frac{-5x}{4} + \frac{7}{2}+2y - (\displaystyle x - \frac{5}{2} + \frac{7y}{2} ) = 0$

Portanto a equação da reta vermelha é :

$\fbox{\displaystyle \frac{-3y}{2} - \frac{9x}{4} + 6 = 0 }$

A questão pede as coordenadas de P. Vamos jogar x = 0 e achar y.

$\displaystyle \frac{-3y}{2} - \frac{9.0}{4} + 6 = 0$

$y = 4$

Portanto :

 $\fbox{\displaystyle P : (0,4) }$