Question

Encontre a base e a dimensão do espaço solução do sistema de equações lineares:
x + 2y + 2z - s + 3t = 0
x + 2y + 3z + s + t = 0
3x + 6x + 8z + s +5t = 0

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

faz um tempo que não lido com esses tipos de questão então não tenho certeza se fiz tudo certo.

subtraindo a linha dois da linha um

0 + 0 + z + 2s - 2t = 0

essa será a nova linha dois

x + 2y + 2z - s + 3t = 0

z + 2s - 2t = 0

3x + 6y + 8z + s +5t = 0

subtraindo a linha 3 da linha 1 multiplicada por 3

0 + 0 + 2z + 4s - 4t = 0

x + 2y + 2z - s + 3t = 0

z + 2s - 2t = 0

2z + 4s - 4t = 0

veja que a linha 3 = linha 2 (só que a linha três ta multiplicada por 2), sendo assim, vou remover uma das linhas, escolhi a 3 para remover.

x + 2y + 2z - s + 3t = 0

z + 2s - 2t = 0

linha 1 menos 2 vezes a linha 2

x + 2y + 0 - 5s + 7t = 0

x + 2y - 5s + 7t = 0

z + 2s - 2t = 0

z + 2s - 2t = 0

z = 2t - 2s

y = k (chamei y de k só por chamar mesmo)

x + 2k - 5s + 7t = 0

x = 5s - 7t - 2k

vetor

(X, Y ,Z) = (5s - 7t - 2k, k, 2t - 2s)

x y e z dependem de s, t e k, logo, podemos separar em 3 vetores

(5s - 7t - 2k, k, 2t - 2s) = (5s,0,-2s) + (-7t,0,2t) + (-2k,k,0) =

s*(5,0,-2) + t*(-7,0,2) + k*(-2,1,0)

logo:

a base do sistema linear é (5,0,-2), (-7,0,2), (-2,1,0) e a dimensão do espaço solução é 3 pois precisamos desses 3 vetores da base para gerar o espaço.