Question

Resolva os problemas de valor inicial
a) ds/dt = 12t (3t^2 - 1)^3 com a (1) = 3

b) dy/dx= 9x^2 - 4x + 5 com y (-1) = 0

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos estes problemas de valor inicial, devemos nos relembrar de algumas técnicas de integração.

a)  $\dfrac{ds}{dt}=12t\cdot(3t^2-1)^3,~s(1)=3$.

Multiplique ambos os lados da equação pelo diferencial $dt$

$ds=12t\cdot(3t^2-1)^3\,dt$

Integre ambos os lados da equação

$\displaystyle{\int ds=\int 12t\cdot(3t^2-1)^3\,dt$

Lembre-se que $\displaystyle{\int dx=\int x^0\,dx=x+C$

$\displaystyle{s+C_1=\int 12t\cdot(3t^2-1)^3\,dt$

Para resolver esta integral, faça uma substituição $u=3t^2-1$. Diferencie ambos os lados em relação a $t$:

$u'=(3t^2-1)'\\\\\\ \dfrac{du}{dt}=6t$

Multiplique ambos os lados pelo diferencial $dt$

$du=6t\,dt$

Veja que este elemento já está presente na integral, logo

$\displaystyle{s+C_1=\int 2\cdot u^3\,du$

Aplique a propriedade da constante: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx$ e calcule a integral da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$

$\displaystyle{s+C_1=2\cdot\left(\dfrac{u^4}{4}+C_2\right)$

Multiplique os valores e desfaça a substituição

$s+C_1=\dfrac{(3t^2-1)^4}{2}+2C_2$

Subtraia $C_1$ em ambos os lados da equação

$s=\dfrac{(3t^2-1)^4}{2}+2C_2-C_1$

Considere $2C_2-C_1=C$

$s=\dfrac{(3t^2-1)^4}{2}+C$

Utilizando o valor inicial $s(1)=3$, temos

$3=\dfrac{(3\cdot 1^2-1)^4}{2}+C$

Calcule as potências e some os valores

$3=\dfrac{(3-1)^4}{2}+C\\\\\\ 3=\dfrac{2^4}{2}+C\\\\\\ 3=8+C$

Subtraia $8$ em ambos os lados da equação

$C=-5$

Dessa forma, a solução deste problema é:

$\boxed{\bold{s(t)=\dfrac{(3t^2-1)^4}{2}-5}}$

b)  $\dfrac{dy}{dx}=9x^2-4x+5,~y(-1)=0$

Multiplique ambos os lados pelo diferencial $dx$

$dy=9x^2-4x+5\,dx$

Integre ambos os lados da equação

$\displaystyle{\int dy=\int9x^2-4x+5\,dx$

Da mesma forma que anteriormente, calcule a primeira integral

$\displaystyle{y+C_1=\int9x^2-4x+5\,dx$

Aplique as outras propriedades já discutidas:

$y+C_1=3x^3-2x^2+5x+C_2$

Subtraia $C_1$ em ambos os lados da equação

$y=3x^3-2x^2+5x+C_2-C_1$

Considere $C_2-C_1=C$ e utilize o valor inicial

$0=3\cdot(-1)^3-2\cdot(-1)^2+5\cdot(-1)+C$

Calcule as potências e multiplique os valores

$0=-3-2-5+C$

Isole $C$

$C=10$

A solução para este problema é:

$\boxed{\bold{y=3x^3-2x^2+5x+10}}$