Question

Resolva as inequações logarítmicas A) log3 (×-17) <2 B) 1 < log8 (×2/+1) C) log5 (2-×)< log0.5(×+6) D) log4 ×<log4(2×-10)​

Answer 1

Letra A.

$log_{3}(x - 17) < 2$

Defina o intervalo.

Sendo assim...

$log_{3}(x - 17) < 5,x > 17$

Para a > 1, a expressão

$log_{a}(x) < b$

é igual a

$x < a {}^{b}$

.

Sendo assim...

$x - 17 < 3 {}^{5}$

Resolva a potência.

Sendo assim...

$x - 17 < 243$

Mova a constante para a membro direito e altere o seu sinal.

Sendo assim...

$x < 243 + 17$

Some os Valores.

Sendo assim...

$x < 260,x > 17$

Encontre a interceção da solução e o intervalo definido.

Sendo assim...

$</em><em>\</em><em>red</em><em>{</em><em>\</em><em>boxed</em><em>{</em><em>x∈(17,260)</em><em>}</em><em>}</em><em>$

Letra B.

$1 < log_{8}( \frac{x {}^{2} }{1} )$

Defina o intervalo.

Sendo assim...

$1 < log_{8}( \frac{x {}^{2} }{1} ) ,x≠0$

Troque os membros e o sinal da inequação.

Sendo assim...

$log_{8}( \frac{x {}^{2} }{1} ) > 1$

Qualquer expressão dividida 1 é igual a ela mesma.

Sendo assim...

$log_{8}(x {}^{2} ) > 1$

Para

$a > 1$

, a expressão

$log_{a}(x) > b$

é igual a

$x > a {}^{b}$

.

Sendo assim...

$x {}^{2} > 8 {}^{1}$

Qualquer elevada a potência de 1 é igual a ela mesma.

Sendo assim...

$x {}^{2} > 8$

Aplique a raiz quadrada a ambos os membros da equação.

Sendo assim...

$|x| > \sqrt{8}$

Simplifique o radical.

Sendo assim...

$|x| > 2 \sqrt{2}$

Separe a inequação em 2 casos possíveis.

Sendo assim...

$x > 2 \sqrt{2} ,x \geqslant 0 \\ - x > 2 \sqrt{2} ,x < 0$

Encontra a interceção.

Calcule o Valor de X na inequação

$- x < 2 \sqrt{2} ,x < 0$

.

Sendo assim...

$x∈(2 \sqrt{2} , + ∞) \\ x < 2 \sqrt{2} ,x < 0$

Encontra a interceção.

Sendo assim...

$x∈(2 \sqrt{2} , + ∞) \\ x∈( - ∞, - 2 \sqrt{2} )$

Encontre a união.

Sendo assim...

$x∈( - ∞, - 2 \sqrt{2} )∪(2 \sqrt{2} , + ∞),x≠0$

Encontre a interceção da solução e o intervalo definido.

Sendo assim...

$</em><em>\</em><em>red</em><em>{</em><em>\</em><em>boxed</em><em>{</em><em>x∈( - ∞, - 2 \sqrt{ 2} )∪(2 \sqrt{2} , + ∞)</em><em>}</em><em>}</em><em>$

Letra D.

$log_{4}(x) < log_{4}(2x - 10)$

Defina o intervalo.

Sendo assim...

$log_{4}(x) < log_{4}(2x - 10) ,x∈(5 , + ∞)$

Para

$a > 1$

, a expressão

$log_{a}(x) < log_{a}(y)$

é igual a

$x < y$

.

Sendo assim...

$x < 2x - 10$

Mova a variável para o membro esquerdo e troque seu sinal.

Sendo assim...

$x - 2x < 10$

Coloque os termos similares em evidência e some os demais.

Sendo assim...

$- x < - 10$

Multiplique ambos os membros da inequação por - 1 e inverta seu sinal de desigualdade.

Sendo assim...

$x > 10,x∈(5, + \infty )$

Encontre a interceção da solução e o intervalo definido.

Sendo assim...

$</em><em>\</em><em>red</em><em>{</em><em>\</em><em>boxed</em><em>{</em><em>x∈(10,∞)</em><em>}</em><em>}</em><em>$

Obs ↝ Não compreendi a Letra C.