Question

-Considere a função

Encontre os valores de a e b sabendo que todo limite existe

Answer 1

Dizemos que uma função f é contínua no ponto a se forem satisfeitas as seguintes condições:

1. f(a) existe (a pertence ao domínio de f);

2. $\lim_{x \to \ a} f(x)$ existe;

3. $\lim_{x \to \ a} f(x)=f(a)$ .

Quando x = 2:

$\lim_{x \to \ 2} f(x)=f(2)$

Calculando o limite lateral à esquerda de x = 2, temos: $\lim_{x \to \ 2^{-} } f(x)=lim_{x \to \ 2^{-} } [\frac{x^{2}-4 }{x-2} ]$

$lim_{x \to \ 2^{-} } [\frac{(x-2)(x+2) }{x-2} ]=lim_{x \to \ 2^{-} } [x+2]=2+2=4$

Logo o limite lateral à direita também deverá ser 4:

$\lim_{x \to \ 2^{+} } f(x)=lim_{x \to \ 2^{+} } [ax^{2}-bx+3 ]=4a-2b+3$

$\lim_{x \to \ 2^{-} } f(x)=lim_{x \to \ 2^{+} } f(x)$

$4a-2b+3=4$

$4a-2b=1$

Quando x = 3:

$\lim_{x \to \ 3} f(x)=f(3)$

Calculando o limite lateral à esquerda de x = 3, temos: $\lim_{x \to \ 3^{-} } f(x)=lim_{x \to \ 3^{-} } [ax^{2} -bx+3]=9a-3b+3$

Esse limite tem que ser equivalente ao limite pela direita:

$\lim_{x \to \ 3^{+} } f(x)=lim_{x \to \ 3^{+} } [2x-a+b]=6-a+b$

$\lim_{x \to \ 3^{-} } f(x)=lim_{x \to \ 3^{+} } f(x)$

$9a-3b+3=6-a+b$

$10a-4b=3$

Resolvendo o sistema:

$4a-2b=1$

$10a-4b=3$

$a=\frac{1}{2}$

$b=\frac{1}{2}$