Question

A equação 2x2−7x+9=0 não tem raízes reais, você pode verificar isto calculando o discriminante (∆), mas mesmo assim tem duas raízes que não são reais, vamos chamá-las de x′ e x'', determine o valor de (x′)2.(x'')2

Answer 1

Resposta: x'^2 X x"^2 = 81/4

Explicação passo-a-passo:

A equação quadrática é 2x^2 - 7x + 9 = 0. Logo,

                    x' = (7 + $\sqrt{-23}$ ) / 4  e,

                   x" = (7 - $\sqrt{-23}$ ) / 4

Assim,

                   x'^2 X x''^2 = (x' X x'')^2 = [(7 + $\sqrt{-23}$ ) X (7 - $\sqrt{-23}$ )/16]^2 =

                   = [(49 - (-23))/16]^2 = (72/16)^2 = (9/2)^2 = 81/4

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

2x² - 7x + 9 = 0

* Cálculo do discriminante Δ

      Δ = b² - 4ac  ;  a = 2 , b = -7 , c = 9

      Δ = (-7)² - 4 · 2 · 9  →  Δ = 49 - 72  →  Δ = -23

* Cálculo das raízes x' e x"

      $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4.a.c}}{2.a}$

      $x=\frac{-(-7)\pm\sqrt{-23}}{2.2}$

      $x=\frac{7\pm\sqrt{-23}}{4}$

 - dentro do radical, faça a multiplicação:  -1 · 23

      $x=\frac{7\pm\sqrt{-1.23}}{4}$

 - isole em raízes separadas

      $x=\frac{7\pm\sqrt{-1}.\sqrt{23}}{4}$

 - aplicando as propriedades dos números complexos, que diz

   -1 = i², fica

      $x=\frac{7\pm\sqrt{i^{2}}.\sqrt{23}}{4}$

      $x=\frac{7\pm i.\sqrt{23}}{4}$

      $x=\frac{7\pm\sqrt{23}i}{4}$

 - então

      $x'=\frac{7-\sqrt{23}i}{4}$  ;  $x''=\frac{7+\sqrt{23}i}{4}$

* Cálculo de (x')² · (x'')²

      $(\frac{7-\sqrt{23}i}{4})^{2}.(\frac{7+\sqrt{23}i}{4})^{2}$

 - calcular as potências primeiro

      $(\frac{7^{2}+2.7.(-\sqrt{23}i)+(-\sqrt{23}i)^{2}}{4^{2}}).(\frac{7^{2}+2.7.\sqrt{23}i+(\sqrt{23}i)^{2}}{4^{2}})$

      $(\frac{49-14\sqrt{23}i+23.i^{2}}{16}).(\frac{49+14\sqrt{23}i+23.i^{2}}{16} )$

 - sabendo que i² = -1, fica

      $(\frac{49-14\sqrt{23}i+23.(-1) }{16}).(\frac{49+14\sqrt{23}i+23.(-1)}{16})$

      $(\frac{49-14\sqrt{23}i-23}{16}).(\frac{49+14\sqrt{23}i-23}{16})$

      $(\frac{26-14\sqrt{23}i}{16}).(\frac{26+14\sqrt{23}i}{16})$

 - no numerador, coloque o fator comum 2 em evidência

      $(\frac{2(13-7\sqrt{23}i)}{16}).(\frac{2(13+7\sqrt{23}i}{16})$

      $(\frac{13-7\sqrt{23}i}{8}).(\frac{13+7\sqrt{23}i}{8})$

      $\frac{(13-7\sqrt{23}i).(13+7\sqrt{23}i)}{8.8}$

 - no numerador, multiplique pela distributiva

      $\frac{13.13+13.7\sqrt{23}i+(-7\sqrt{23}i).13+(-7\sqrt{23}i).(7\sqrt{23}i)}{64}$

      $\frac{169+91\sqrt{23}i-91\sqrt{23}i-49.23.i^{2}}{64}$

      $\frac{169-1127.(-1)}{64}=\frac{169+1127}{64}=\frac{1296}{64}$

 - simplifique, dividindo o numerador e o denominador por 16

      $\frac{1296:16}{64:16}=\frac{81}{4}$

Resposta:  $\frac{81}{4}$