Question

Identifique a posição da reta s em relação à Circunferência λ: 

(a) s é Secante à λ

(b) s é Tangente à λ

(c) s é Exterior à λ

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Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{a)~s~\'e~secante~\`a~\lambda}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudas em geometria analítica.

Sejam as equações da reta e da circunferência:

$\begin{cases}s:~2x-y-3=0\\ \lambda: x^2+y^2-3x+2y-3=0\\\end{cases}$

Devemos encontrar as coordenadas do centro desta circunferência e calcular a distância entre este ponto e sua projeção ortogonal na reta $s$.

Para encontrarmos estas coordenadas, devemos encontrar a equação reduzida da circunferência. Para isso, utilizamos o método de completar quadrados.

Analisamos os termos de grau 1 da equação. Dividimos o valor de seu coeficiente por 2 e somamos seu quadrado à equação.

Temos os termos $-3x$ e $2y$ e quadrado da metade de seus coeficientes são, respectivamente, $\dfrac{9}{4}$ e $1$. Some estes valores em ambos os lados da equação:

$\lambda: x^2+y^2-3x+2y-3+\dfrac{9}{4}+1=\dfrac{9}{4}+1$

Reorganize os termos da seguinte forma

$\lambda: x^2-3x+\dfrac{9}{4}+y^2+2y+1-3=\dfrac{9}{4}+1$

Aplicando a propriedade de fatoração do trinômio quadrado perfeito, temos

$\lambda: \left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+(y+1)^2-3=\dfrac{9}{4}+1$

Some $3$ em ambos os lados da equação e some as frações

$\lambda: \left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+(y+1)^2=\dfrac{25}{4}$

Comparando esta equação à forma reduzida de uma circunferência com centro em $(x_c,~y_c)$ e raio $r$: $(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2$, facilmente vemos que

A circunferência $\lambda$ tem centro em $\left(\dfrac{3}{2},~-1\right)$ e raio $\dfrac{5}{2}$.

Então, devemos encontrar a distância do centro à sua projeção ortogonal na reta. Sendo a equação geral da reta de forma $ax+by+c=0$, a distância $d$ de um ponto $(x_0,~y_0)$ à reta é dada por:

$d=\dfrac{|a\cdot x_0+b\cdot x_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Substituindo os coeficientes da reta $s$: $a=2,~b=-1$ e $c=-3$ e as coordenadas do centro da circunferência, temos

$d=\dfrac{\left|2\cdot\dfrac{3}{2}-(-1)-3\right|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}$

Calcule as potências e multiplique os valores

$d=\dfrac{|3+1-3|}{\sqrt{4+1}}$

Some os valores

$d=\dfrac{|1|}{\sqrt{5}}$

Sabendo que $|x|=\begin{cases}x,~\bold{se~x>0}\\ -x,~\bold{se~x<0}\\\end{cases}$, temos

$d=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$

Veja que $d<r$, logo afirmamos que:

$s$ é secante à $\lambda$.

Esta é a resposta contida na letra a).