Question

∫5x^3.dx/6x^4+61

preciso integrar essa função.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\dfrac{5}{24}\cdot\ln|6x^4+61|+C,~C\in\mathbb{R}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para calcularmos a seguinte integral, devemos nos relembrar de algumas técnicas de integração.

Seja a integral:

$\displaystyle{\int \dfrac{5x^3\,dx}{6x^4+61}$

Faça a substituição $u=6x^4+61$. Derivamos ambos os lados da equação para encontrarmos o diferencial $du$:

$u'=(6x^4+61)'\\\\\\ \dfrac{du}{dx}=24x^3$

Multiplique ambos os lados da equação pelo diferencial $dx$

$du=24x^3\,dx$

Divida ambos os lados da equação por $24$

$\dfrac{du}{24}=x^3\.dx$

Veja que este elemento já está presente na integral. Assim, teremos:

$\displaystyle{\int \dfrac{5\,du}{24u}$

Lembre-se que $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot \int f(x)\,dx$ e $\displaystyle{\int \dfrac{dx}{x}=\ln|x|+C$, assim teremos

$\displaystyle{\dfrac{5}{24}\cdot\int \dfrac{\,du}{u}}\\\\\\\\ \dfrac{5}{24}\cdot(\ln|u|+C_1)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\dfrac{5}{24}\cdot\ln|u|+\dfrac{5C_1}{24}$

Considere $\dfrac{5C_1}{24}=C$ e desfaça a substituição

$\dfrac{5}{24}\cdot\ln|6x^4+61|+C,~C\in\mathbb{R}$

Este é o resultado desta integral.