Question

resolva a equação x^3 - 5x^2 + 7x - 3 = 0 , sabendo que x = 1 é uma raiz da equação

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{S=\{x\in\mathbb{R}~|~x=(1~(dupla),~3)\}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para encontrarmos o restante das soluções desta equação algébrica de grau 3, utilizaremos o dispositivo prático de Briot-Ruffini.

Seja a equação:

$x^3-5x^2+7x-3=0$

Sabendo que $x=1$ é uma raiz da equação, dispomos seus coeficientes no dispositivo da seguinte maneira:

$\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~|~~~~1~~~~-5~~~~7~~~~-3}}\\~~~~1~~|~~~~1$

Repetimos o primeiro coeficiente em sua coluna, multiplicamos pelo número na coluna $x$ e somamos ao próximo coeficiente. Os números que restam serão coeficientes de uma equação polinomial de grau menor, cujas soluções são o restantes das raízes.

Ao final do processo, teremos:

$\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~|~~~~1~~~~-5~~~~7~~~~-3}}\\~~~~1~~|~~~\boxed{1~~~~-4~~~~3}~~~~~~\,0$

Os números em destaque serão estes coeficientes. Assim, teremos:

$x^2-4x+3=0$

Para resolvermos esta equação, utilizamos a fórmula resolutiva:

$x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot 1\cdot 3}}{2\cdot 1}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$x=\dfrac{4\pm\sqrt{16-12}}{2}$

Some os valores no radical

$x=\dfrac{4\pm\sqrt{4}}{2}$

Sabendo que $4=2^2$, temos

$x=\dfrac{4\pm2}{2}$

Separe as soluções

$x=\dfrac{4-2}{2}~~~\mathtt{ou}~~~x=\dfrac{4+2}{2}$

Some os valores

$x=\dfrac{2}{2}~~~\mathtt{ou}~~~x=\dfrac{6}{2}$

Simplifique as frações

$x=1~~~\mathtt{ou}~~~x=3$

Veja que neste caso, a raiz $x=1$ tem multiplicidade 2.

O conjunto solução desta equação algébrica será:

$\boxed{\bold{S=\{x\in\mathbb{R}~|~x=(1~(dupla),~3)\}}}$