Question

Sejam um cone e um cilindro, ambos com raio da base medindo r e altura h. Sendo Ap e Ac. as áreas da superfície do cone e do cilindro, respectivamente, verifique se a afirmação abaixo é verdadeira e justifique sua resposta:

Para quaisquer que sejam os valores de r e h, a razão entre as áreas do cilindro e do cone terá sempre o mesmo valor.

Answer 1

Resposta:

A área da superfície de um cone é dada por:

$A_{cone}=A_{base}+A_{lateral}\\\\A_{cone}= {\pi}r^2+{\pi}rg\\\\A_{cone}={\pi}r(r+g)$Em que g = √(r² + h²).

Já a área da superfície de um cilindro é:

$A_{cilindro}=2A_{base}+A_{lateral}\\\\A_{cilindro}=2{\pi }r^2+2{\pi }rh\\\\A_{cilindro}=2{\pi }r(r+h)$

Seja R a razão entre as áreas de suas superfícies:

$R=\frac{A_{cone}}{A_{cilindro}} =>\frac{{\pi }r(r+g)}{2{\pi }r(r+h)}\\\\ R=\frac{(r+g)}{2(r+h)}=>R=\frac{(r+\sqrt{r^2+h^2} )}{2(r+h)}$

Observando a razão R vemos que ela depende tanto direta quanto indiretamente de r e h, consequentemente a afirmação é falsa.