Question

a figura abaixo representa um tetraedro regular ABCD de aresta 2√3 dm, em que M e N são pontos médios da aresta e AB e CD respectivamente:

a) prove que o segmento MN é perpendicular as arestas AB e CD
(sugestão: observe que os triângulos MCD e NAB São isósceles)

b) calcule a distância em metros entre aresta reversas AB e CD


me ajudem por favor????​

Answer 1

Bom dia ^-^

Vamos fazer a Letra B primeiro:

Letra B)

Calculando o Apótema da Base:

$ap = \frac{1}{3} \times \frac{l \sqrt{2} }{2}$

Como o lado vale 2 Raíz de 3:

$ap = \frac{1}{3} \times \frac{2 \sqrt{3} \times \sqrt{3} }{2}$

$ap = 1dm$

Sendo assim, a altura dos triângulos que formam o tetraedro vale o triplo:

$h = 3dm$

A distância entre o Baricentro do triângulo da base e o ponto B é 2/3 da altura:

$d = \frac{2}{3} \times 3 = 2dm$

Assim, por Teorema de Pitágoras, podemos descobrir a altura do tetraedro:

${d}^{2} + {ht}^{2} = {(2 \sqrt{3} )}^{2}$

${ht }^{2} = 12 - 4 = 8$

$ht = \sqrt{8}$

Observando a figura, percebemos que outro triângulo retângulo semelhante a esse será formado a partir do ponto M, e sua altura valerá a metade:

$h2 = \frac{ \sqrt{8} }{2}$

O ponto de intersecção dessa "altura" com a base está localizado a K metros do ponto B. Por Pitágoras:

${k}^{2} + {( \frac{ \sqrt{8} }{2} )}^{2} = { (\sqrt{3}) }^{2}$

${k}^{2} + 2 = 3$

$k = 1 \: dm$

Subtraindo isso da altura da base:

$g = h - k = 3 - 1 = 2$

E agora, podemos calcular a distância entre as retas reversas (segmento MN), por Pitágoras:

${mn}^{2} = {g}^{2} + {( \frac{ \sqrt{8} }{2}) }^{2}$

${mn}^{2} = 4 + 2$

$mn = \sqrt{6} \: dm$

Agora a Letra A

Letra A)

Vamos chamar de Alfa o ângulo formado entre a altura do Tetraedro e o lado AB.

Calculando a Tangente de Alfa:

$tg( \alpha ) = \frac{2}{ \sqrt{8} } = \frac{2 \times 2 \sqrt{2} }{8} = \frac{ \sqrt{2} }{2}$

Vamos chamar de Beta o ângulo formado entre a altura do triângulo menor formado a partir de M e o segmento MN. Calculando sua tangente:

$tg( \beta ) = \frac{2}{ \frac{ \sqrt{8} }{2} } = \frac{2 \times 2}{2 \sqrt{2} } = \frac{2 \sqrt{2} }{2} = \sqrt{2}$

É importante ressaltar que (Alfa + Beta) é o ângulo formado entre MN e AB. Calculando a tangente de (Alfa + Beta)

$tg( \alpha + \beta ) = \frac{ \frac{ \sqrt{2} }{2} + \sqrt{2} }{1 - ( \sqrt{2} \times \frac{ \sqrt{2} }{2} ) } = \frac{...}{1 - 1}$

$tg( \alpha + \beta ) = \frac{...}{0}$

Como é impossível dividir por zero, e a tangente de 90 é indefinida, podemos afirmar que MN forma um ângulo de 90 graus com AB, logo, é perpendicular.

MN também é a Altura do Triângulo MCD, sendo, por isso, perpendicular a CD.

Provado !

Observação:

Ao invés de calcular isso tudo, você podia só afirmar que MN é a altura de NAB e MCD, sendo, por isso, perpendicular a AB e CD.

Perdão se cometi algum erro.