Question

Seja f(x) é uma função tal que lim x tende a 1 f(x) existe. Sabendo
que
g(x) = 4x³ + 7x² + 4, h(x) = (4x² + 1)²
e que
lim x tende a 1 (f(x) + g(x). h(x)) = 6
então o valor numérico do limite
lim f(x)
x tende a 1
vale:​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\underset{x\rightarrow 1}{\lim}~f(x)=-369}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Buscamos o valor numérico de $\underset{x\rightarrow 1}{\lim}~f(x)$, sabendo que este limite existe e

$\underset{x\rightarrow 1}{\lim}~f(x)+g(x)\cdot h(x)=6$, tal que  $g(x)=4x^3+7x^2+4$ e  $h(x)=(4x^2+1)^2$.

Veja que as funções $g(x)$ e $h(x)$ são polinomiais. Isto significa que seus valores estão definidos em toda a reta real, ou seja: elas são contínuas para todo valor de x pertence à $]-\infty,~\infty[$.

Assim, lembre-se que:

• A limite da soma de duas funções contínuas pode ser reescrito como a soma dos limites.
• O limite do produto entre duas funções contínuas pode ser reescrito como o produto dos limites.
• Respeitada a condição de continuidade, o limite de uma função é igual ao seu valor naquele ponto: $\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)=f(c)$.

Aplicando a propriedade da soma, teremos

$\underset{x\rightarrow 1}{\lim}~f(x)+\underset{x\rightarrow 1}{\lim}~g(x)\cdot h(x)=6$

Aplicando a propriedade do produto, teremos

$\underset{x\rightarrow 1}{\lim}~f(x)+\underset{x\rightarrow 1}{\lim}~g(x)\cdot\underset{x\rightarrow 1}{\lim}~ h(x)=6$

Calcule os limites de acordo com a definição de continuidade

$\underset{x\rightarrow 1}{\lim}~f(x)+g(1)\cdot h(1)=6\\\\\\ \underset{x\rightarrow 1}{\lim}~f(x)+(4\cdot1^3+7\cdot1^2+4)\cdot (4\cdot1^2+1)^2=6$

Calcule as potências e multiplique os valores

$\underset{x\rightarrow 1}{\lim}~f(x)+(4+7+4)\cdot (4+1)^2=6$

Some os valores

$\underset{x\rightarrow 1}{\lim}~f(x)+15\cdot 5^2=6$

Calcule a potência e multiplique os valores

$\underset{x\rightarrow 1}{\lim}~f(x)+15\cdot 25=6\\\\\\ \underset{x\rightarrow 1}{\lim}~f(x)+375=6$

Subtraia $375$ em ambos os lados da equação

$\underset{x\rightarrow 1}{\lim}~f(x)=-369$

Este é o valor numérico do limite que buscávamos.