Question

A é o conjunto do plano limitado pela reta y=0 e pelo gráfico de y=x^3-x com 0<=x<=2. determina a área das regiões limitadas pelas curvas.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{2~u.~a}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para calcularmos a área da região limitada por duas curvas, utilizaremos integrais.

Sejam as curvas definidas pelas funções: $f(x)=x^3-x$ e $y=0$.

Veja que neste caso, $y=0$ é um dos eixos coordenados. Usualmente, o processo de integração consiste em calcular a área sob uma curva em relação ao eixo das abcissas.

Nos foi dito que esta área está limitada pelas curvas no intervalo $0\leq x\leq 2$.

Lembre-se que a área sob a curva definida entre função $f(x)$ e o eixo das abcissas em um intervalo $[a,~b]$, tal que $f(x)$ é contínua em todo o intervalo, é calculada pela integral: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx$.

Dessa forma, teremos:

$\displaystyle{\int_0^2 x^3-x\,dx$

Para calcularmos esta integral, lembre-se que:

• A integral definida de uma função é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, tal que $F(x)$ é a antiderivada da função e $\dfrac{d(F(x))}{dx}=f(x)$.
• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções.
• A integral de uma potência é dada por: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$.

Aplicando a propriedade da soma, temos

$\displaystyle{\int_0^2 x^3\,dx-\int_0^2x\,dx$

Aplicando a regra da potência, temos

$\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^2}{2}~\biggr|_0^2$

Aplique os limites de integração

$\dfrac{2^4}{4}-\dfrac{2^2}{2}-\left(\dfrac{0^4}{4}-\dfrac{0^2}{2}\right)$

Calcule as potências

$\dfrac{16}{4}-\dfrac{4}{2}-\left(\dfrac{0}{4}-\dfrac{0}{2}\right)$

Calcule as frações e some os valores

$4-2\\\\\\\ 2~\bold{u.~a}$

Esta é a área da região delimitada pelas curvas.