Question

O polinomio p(x) = x³ + 2x² - 11x - 12 tem tres raizes inteiras. Se a primeira delas é o quadruplo da segunda e a soma da primeira com a segunda é -5, então o produto da primeira e a segunda é:
a) -4
b) 4
c) -7
d) 3
e) 12

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{b)~4}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, utilizaremos as Relações de Girard para equações algébricas de grau 3.

Seja o polinômio $p(x)=x^3+2x^2-11x-12$. Suas raízes são inteiras e sabemos que: a primeira delas é o quádruplo da segunda e a soma entre estas duas raízes é igual a $-5$.

Com isso, considerando as raízes $r_1$ e $r_2$, facilmente poderíamos encontrar o valor desejado resolvendo o seguinte sistema:

$\begin{cases}r_1=4r_2\\ r_1+r_2=-5\\\end{cases}$

Porém, utilizaremos as relações de Girard.

Dada uma equação algébrica de grau 3 de coeficientes reais $ax^3+bx^2+cx+d=0$, tal que $a\neq 0$, ao dividirmos ambos os lados da equação por $a$, teremos:

$x^3+\dfrac{b}{a}x^2+\dfrac{c}{a}x+\dfrac{d}{a}=0$.

As relações de Girard nos garantem que, para uma equação de grau 3:

• A soma das raízes é dada por: $r_1+r_2+r_3=-\dfrac{b}{a}$.
• O produto entre as raízes é dado por: $r_1\cdot r_2\cdot r_3=-\dfrac{d}{a}$.

Assim, consideremos a soma entre as raízes e a informação dada pelo enunciado. Substituindo os coeficientes $a=1$ e $b=2$, temos:

$r_1+r_2+r_3=-\dfrac{2}{1}$

Dado que $r_1+r_2=-5$, temos

$-5+r_3=-2$

Some $5$ em ambos os lados da equação

$r_3=-2+5\\\\\\ r_3=3$

Agora, utilizando a fórmula para o produto entre as raízes e substituindo o coeficiente $d=-12$, teremos:

$r_1\cdot r_2\cdot r_3=-\dfrac{(-12)}{1}$

Visto que encontramos $r_3=3$, teremos:

$r_1\cdot r_2\cdot 3=12$

Divida ambos os lados da equação por $3$

$r_1\cdot r_2=\dfrac{12}{3}\\\\\\ r_1\cdot r_2=4$

Este era o valor que procurávamos e é a resposta contida na letra b).

Answer 2

Resposta:

a: primeira

b: segunda

a=4b

a+b=-5

4b+b=-5 ==>b=-1  ==>a=-4

a*b=(-1)*(-4)=4

Letra B