Question

1) Para as funções abaixo, determine:
i) a concavidade (se a parábola é concavada para cima ou para baixo);
ii) os zeros da função (raízes);
iii) as coordenadas do vértice;
iv) esboço do gráfico;
v) o estudo de sinal (dizer se é função crescente ou decrescente).

a) f(x) = x² - 2x - 3
b) f(x) = -x2 + 2x + 2

Answer 1

Resposta:

a) f(x)=x^2-2x-3

i) concavidade voltada para cima.

ii) delta=(-2)^2-4(1)(-3)=4+12=16

(2+_4)/2

x'=6/2=3

x"=-2/2= - 1

iii) xv=-b/2a

xv= 2/2 = 1

yv=f(xv)=f(1)=(1)^2-2(1)-3=1-2-3= - 4

v(1, - 4)

iv) o gráfico corta o eixo x nos pontos (-1,0) e (3, 0).

O gráfico corta o eixo y no ponto (0 , -3).

O gráfico passa pelo ponto (1, -4) que é o vértice.

v)

-1<x<3 negativo

x< -1 positivo ou x>3 positivo

função crescente.

b) f(x)= -x^2+2x+2

i) Concavidade voltada para baixo.

ii) delta= (2)^2-4(-1)(2)=4+8=12

Bhaskara

(-2+_ 2raíz □ de 3)/-2

x'=-2+2raíz □ de 3/-2=

x'=1-raíz □ de 3

x"=-2-2raíz □ de 3/-2

x"=1+raíz □ de 3.

iii) xv=-2/-2=1

yv=f(xv)=f(1)=-(1)^2+2(1)+2=-1+4=3

v(1,3)

iv) O gráfico corta o eixo x nos pontos (1-raíz □ de 3,0) e (1+raíz □ de 3,0).

O gráfico passa pelo ponto (1,3), que é o vértice.

O gráfico corta o eixo y no ponto (0,2).

Logo, localizando esses pontos no plano cartesiano esboçamos o gráfico da função.

v) 1-raíz □ de 3<x< 1+raíz □ de 3 é positivo.

x< 1-raíz □ de 3 é negativo.

x> 1+raíz □ de 3 é negativo.

função decrescente.

Bons Estudos!

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

a) $\sf f(x)=x^2-2x-3$

i) a concavidade

• $\sf a=1$

• $\sf a > 0~\Rightarrow~$ concavidade para cima

ii) os zeros da função

$\sf x^2-2x-3=0$

$\sf \Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)$

$\sf \Delta=4+12$

$\sf \Delta=16$

$\sf x=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{16}}{2\cdot1}=\dfrac{2\pm4}{2}$

$\sf x'=\dfrac{2+4}{2}~\Rightarrow~x'=\dfrac{6}{2}~\Rightarrow~x'=3$

$\sf x"=\dfrac{2-4}{2}~\Rightarrow~x"=\dfrac{-2}{2}~\Rightarrow~x"=-1$

Os zeros dessa função são $\sf 3~e~-1$

iii) as coordenadas do vértice

• $\sf x_V=\dfrac{-b}{2a}$

$\sf x_V=\dfrac{-(-2)}{2\cdot1}$

$\sf x_V=\dfrac{2}{2}$

$\sf x_V=1$

• $\sf y_V=\dfrac{-\Delta}{4a}$

$\sf y_V=\dfrac{-16}{4\cdot1}$

$\sf y_V=\dfrac{-16}{4}$

$\sf y_V=-4$

O vértice é $\sf V(1,-4)$

iv) esboço do gráfico

Está em anexo (em azul)

v) o estudo de sinal

• $\sf f(x) > 0$, para $\sf x < -1~ou~x > 3$

• $\sf f(x) < 0$, para $\sf -1 < x < 3$

• $\sf f(x)=0$, para $\sf x=-1~ou~x=3$

-> crescente ou decrescente

• Crescente, para $\sf x > 1$

• Decrescente, para $\sf x < 1$

b) $\sf f(x)=-x^2+2x+2$

i) a concavidade

• $\sf a=-1$

• $\sf a < 0~\Rightarrow~$ concavidade para baixo

ii) os zeros da função

$\sf -x^2+2x+2=0$

$\sf \Delta=2^2-4\cdot(-1)\cdot2$

$\sf \Delta=4+8$

$\sf \Delta=12$

$\sf x=\dfrac{-2\pm\sqrt{12}}{2\cdot(-1)}=\dfrac{-2\pm2\sqrt{3}}{-2}$

$\sf x'=\dfrac{-2+2\sqrt{3}}{-2}~\Rightarrow~x'=1-\sqrt{3}$

$\sf x"=\dfrac{-2-2\sqrt{3}}{-2}~\Rightarrow~x"=1+\sqrt{3}$

Os zeros dessa função são $\sf 1-\sqrt{3}~e~1+\sqrt{3}$

iii) as coordenadas do vértice

• $\sf x_V=\dfrac{-b}{2a}$

$\sf x_V=\dfrac{-2}{2\cdot(-1)}$

$\sf x_V=\dfrac{-2}{-2}$

$\sf x_V=1$

• $\sf y_V=\dfrac{-\Delta}{4a}$

$\sf y_V=\dfrac{-12}{4\cdot(-1)}$

$\sf y_V=\dfrac{-12}{-4}$

$\sf y_V=3$

O vértice é $\sf V(1,3)$

iv) esboço do gráfico

Está em anexo (em vermelho)

v) o estudo de sinal

• $\sf f(x) > 0$, para $\sf 1-\sqrt{3} < x < 1+\sqrt{3}$

• $\sf f(x) < 0$, para $\sf x < 1-\sqrt{3}~ou~x > 1+\sqrt{3}$

• $\sf f(x)=0$, para $\sf x=1-\sqrt{3}~ou~x=1+\sqrt{3}$

-> crescente ou decrescente

• Crescente, para $\sf x < 1$

• Decrescente, para $\sf x > 1$