Question

Determine a derivada de segunda ordem da função f(x) = in(x), em * = 2​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{-\dfrac{1}{4}~~\checkmark}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Devemos determinar o valor da derivada de segunda ordem da função no ponto dado.

Seja a função $f(x)=\ln(x)$.

Podemos demonstrar pela definição que $\dfrac{d}{dx}(\ln(x))=\dfrac{1}{x}$

Sabemos que a derivada de uma função é, pela definição:

$f'(x)=\underset{\Delta{x}\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{f(x+\Delta{x})-f(x)}{\Delta{x}}$

Substitua a função

$(\ln(x))'=\underset{\Delta{x}\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\ln(x+\Delta{x})-\ln(x)}{\Delta{x}}$

Aplique a propriedade da diferença de logaritmos

$(\ln(x))'=\underset{\Delta{x}\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\ln\left(\dfrac{x+\Delta{x}}{x}\right)}{\Delta{x}}$

Transforme a fração em uma soma de frações e simplifique

$(\ln(x))'=\underset{\Delta{x}\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\ln\left(1+\dfrac{\Delta{x}}{x}\right)}{\Delta{x}}$

Faça uma substituição $u=\dfrac{\Delta{x}}{x}$. Veja que ao mudarmos a variável, alteramos o limite: quando $\Delta{x}\rightarrow0,~u\rightarrow 0$.

Isolamos $\Delta{x}$:  $\Delta{x}=ux$. Assim, teremos

$(\ln(x))'=\underset{u\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\ln(1+u)}{ux}$

Como o limite está em respeito da variável $u$, consideramos $x$ constante e aplicamos a propriedade $\underset{x\rightarrow c}{\lim}~a\cdot f(x)=a\cdot \underset{x\rightarrow c}{\lim}~ f(x)$.

$(\ln(x))'=\dfrac{1}{x}\cdot\underset{u\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\ln(1+u)}{u}$

Então, de acordo com o Teorema do confronto, quando calculamos o limite de uma função racional em um ponto, tal que elas convergem para o mesmo ponto e uma delas está limitada a um intervalo, como $\ln(1+u)$ está limitada a $]-1,~\infty[$, este limite é igual a 1.

Dessa forma, demonstramos que:

$\dfrac{d}{dx}(\ln(x))=\dfrac{1}{x}$

Então, para calcularmos a derivada de segunda ordem, derivamos novamente esta função:

$\dfrac{d^2}{dx^2}(\ln(x))=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x}\right)$

Aplique a regra do quociente: $\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{u}{v}\right)=\dfrac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}$.

$\dfrac{d^2}{dx^2}(\ln(x))=\dfrac{1'\cdot x-x'\cdot 1}{x^2}$

Sabendo que a derivada de uma constante é igual a zero e a derivada de uma potência é dada por $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$, temos

$\dfrac{d^2}{dx^2}(\ln(x))=-\dfrac{1}{x^2}$

Dessa forma, encontramos a segunda derivada desta função.

Seu valor no ponto $x=2$ será:

$-\dfrac{1}{2^2}$

Calcule a potência

$-\dfrac{1}{4}$

Este era o valor que procurávamos.