Question

Demonstre que a sentença:
cos⁡(π/2-x)+cos⁡(3π/2+x)=2 senx
É uma identidade em R


Urgenteeeeeeeee

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Você pode usar noções de simetria no círculo trigonométrico, fórmulas de adição de arcos ou transformações de soma em produto.

Vou usar a terceira opção, em que:

$cos(p) + cos(q) = 2.cos(\frac{p+q}{2}).cos(\frac{p-q}{2})$

Então:

$cos(\frac{\pi }{2} -x) + cos(\frac{3\pi }{2} + x) = 2.cos(\frac{\frac{\pi }{2} - x +\frac{3\pi }{2} +x }{2}).cos(\frac{\frac{\pi }{2} - x -\frac{3\pi }{2} -x }{2})\\cos(\frac{\pi }{2} -x) + cos(\frac{3\pi }{2} + x) = 2.cos(\pi).cos(\frac{-\pi }{2} -x)$

Mas,

$cos(-\pi) = -1\\cos (\frac{-\pi}{2} -x) = cos(\frac{\pi}{2} + x) = cos(\frac{\pi }{2}).cos(x) - sen(\frac{\pi}{2}).sen(x) = -sen(x)$

Então:

$cos(\frac{\pi }{2} -x) + cos(\frac{3\pi }{2} + x) = 2sen(x)$

C.Q.D

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

cos (π/2 - x) + cos (3π/2 + x) = 2sen x

cos π/2 · cos x + sen π/2 · sen x + cos 3π/2 · cos x - sen π/2 · sen x =2senx

0 · cos x + 1 · sen x + 0 · cos x - (-1) · sen x = 2sen x

sen x + sen x = 2sen x

2sen x = 2sen x