Question

Alguém para me ajudar nessa integral

Answer 1

Temos a seguinte integral indefinida:

$\sf \int x {}^{2} .sen(4x)dx$

Primeiro vamos observar que devemos usar o método da integração por partes para resolver essa integral. Logo, devemos dar nomes, uma função devemos escolher para ser a "u" que será derivada e a função "dv" que será integrada.

Para escolher certamente a função, devemos lembrar da escala LIATE que consiste em: Funções Logaritmas, Inversas Trigonométricas, Algébricas, Trigonométricas e Exponenciais, as funções que se encontram mais à esquerda da escala, serão denominadas de "u", e por consequência, as que se encontram a direita serão chamadas de "dv".

Partindo dessa ideia, temos então que:

$\sf u = x {}^{2} \: \: \: e \: \: \: dv = sen(4x) \sf$

Derivando "u" e integrando "dv":

$\sf \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} x {}^{2} \longleftrightarrow du = 2x. dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \int dv = \int sen(4x) \longleftrightarrow v = \int sen(4x)$

Para resolver a integral de sen(4x), devemos usar o método da substituição, esse método é utilizado quando tem-se a função e a sua derivada ao mesmo tempo, na mesma integral, sendo a função chamada de "u", onde devemos derivá-la. Digamos que u seja 4x, então:

$\sf u = 4x \longleftrightarrow \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}4x \longleftrightarrow \frac{du}{dx} = 4 \to \boxed{ \sf \frac{du}{4} = dx }$

Substituindo os dados na integral:

$\sf \int sen(4x)dx = \int sen(u). \frac{du}{4} = \frac{1}{4} \int sen(u)du = \boxed{ \sf - \frac{cos(4x)}{4}}$

Agora podemos partir de fato para a integração por partes, que possui a seguinte relação:

$\boxed{ \boxed{\sf \int dv.u = u.v - \int v.du }}$

Colocando os dados nos seus respectivos locais:

$\sf \int sen(4x).x {}^{2} = x {}^{2} . \left ( - \frac{cos(4x)}{4} \right) - \int - \frac{cos(4x)}{4} .2xdx \\ \\ \sf \int x {}^{2} sen(4x) = \frac{ - x {}^{2} cos(4x)}{4} + 2. \frac{1}{4} \int cos(4x) .x.dx \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \int x {}^{2} sen(4x) = \frac{ - x {}^{2}cos(4x) }{4} + \frac{1}{2} \int cos(4x).xdx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Surgiu mais uma integral que deve ser resolvida através do método da integração por partes, então vamos fazer os mesmos passos que fizemos anteriormente, primeiro dar "nomes" as funções, de acordo com a escala LIATE, "x" será chamada de "u" e "cos(4x)" chamada de "dv". Derivando "u" e integrando "dv":

$\sf \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x) \longleftrightarrow \frac{du}{dx} = 1 \longleftrightarrow \boxed{\sf du = dx} \\ \\ \sf\int dv = \sf \int cos(4x) \longleftrightarrow v = \int cos(4x) \: \: \:$

Resolvendo a integral por substituição, diremos que u = 4x:

$\sf \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (4x) \longleftrightarrow \frac{du}{dx} = 4 \longleftrightarrow du = 4dx \longleftrightarrow \boxed{\sf \frac{du}{4} = dx}$

Substituindo esse resultado:

$\sf \int cos(4x)dx = \int cos(u) \frac{du}{4} = \frac{1}{4} \int cos(u)du = \frac{sen(4x)}{4}$

Agora podemos substituir os dados na relação da integração por partes:

$\sf \int cos(4x).x = x. \frac{sen(4x)}{4} - \int \frac{sen(4x)}{4}.dx \\ \\ \sf \int cos(4x).x = \frac{xsen(4x)}{4} - \frac{1}{4} \int sen(4x)dx$

Mais uma vez teremos que integrar por substituição, como a integração se trata da mesma que eu fiz bem no começo, praticamente, colocarei então apenas o resultado:

$\sf \int sen(4x) dx= - \frac{cos(4x)}{4}$

Substituindo:

$\sf \int cos(4x).x = \frac{xsen(4x)}{4} - \frac{1}{4}. \: - \frac{cos(4x)}{4} \\ \\ \sf \int cos(4x).x = \frac{xsen(4x)}{4} + \frac{cos(4x)}{16} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Para finalizar, devemos substituir essa expressão na integral que paramos:

$\sf \int x {}^{2} sen(4x) = \frac{ - x {}^{2}cos(4x) }{4} + \frac{1}{2}. \left( \frac{xsen(4x)}{4} + \frac{cos(4x)}{16} \right) \\ \\ \sf \int x {}^{2} sen(4x) = \frac{ - x {}^{2} cos(4x)}{4} + \frac{xsen(4x)}{8} + \frac{cos(4x)}{32} \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \boxed{ \sf m.m.c = 32} \\ \\ \boxed{ \boxed{ \sf \int x {}^{2} sen(4x) = \frac{ - 8x {}^{2}cos(4x) + 4xsen(4x) + cos(4x)}{32} + C}}$

Espero ter ajudado